Solicitud de referencia: ¿Dónde se encuentra esta identidad trigonométrica?

Question

[Tenga en cuenta que esta es una referencia de la solicitud; yo ya conozco a un par de rutina maneras de probar la identidad.]

En abril me envió esta respuesta. Entonces, ayer tuve ocasión de la conjetura de que, en general, $$ \left(\frac{p\sin x + q\cos x}{r\sin x + s\cos x} = \frac{p\tan x + p}{r\tan x + s} \right) = a + b \tan(x - \varphi) $$ para algunos $a,b,\varphi$ dependiendo $p,q,r,s$.

El caso especial que he publicado en abril fue uno en el que $p=s$ $r=q$ y que no había nada que yo pensaba que era desordenado. En esta estoy recibiendo $\tan\varphi=r/s$ (la parte fácil) y $a$ $b$ son un poco desordenado funciones racionales de $p,q,r,s$. (Entre los valores de $\varphi$ cuya tangente es $r/s$ yo sepa no hay razón para preferir ninguna en particular.)

Se esta identidad y los detalles de la función de $$p,q,r,s\mapsto a,b,\varphi \tag 1$$ universalmente conocida, y en la literatura en algún lugar?

Y no me faltan algunas elegante patrón en $(1)$?

Answer 1

Tenemos$$a+b\tan(x-\phi)=a+\frac{b\tan x-b\tan\phi}{1+\tan x\tan\phi}$ $$$=\frac{\tan x(b-a\tan \phi)+(a-b\tan \phi)}{1+\tan x\tan \phi}$ $

Podemos equiparar esto a$$\frac{\frac ps\tan x+\frac qs}{\frac rs\tan x+1}$$ if we allow $$\frac ps=b-a\tan \phi$$ $$\frac qs=a-b\tan \phi$$ and $$\frac rs=\tan \phi$ $

Ahora, eliminando$\tan \phi$ y resolviendo simultáneamente para$a$ y$b$, obtenemos$$a=\frac{rp-sq}{r^2-s^2}$$ $$b=\frac{rq-sp}{r^2-s^2}$ $

Answer 2

Probablemente lo encuentres aquí:

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Manual de Funciones Matemáticas con Fórmulas, Gráficos y Tablas Matemáticas.