Seis círculos pueden rodean otro círculo del mismo tamaño, con cada círculo tocando el círculo central y sus dos círculos externos vecinos.
Para elipses suficientemente excéntricas, es posible hacer algo similar, pero con cuatro elipses alrededor de otra elipse del mismo tamaño.
¿Qué es la excentricidad mínima de elipses que esto es posible?
Me voy a concentrar en el simétrica caso, como se muestra aquí:
Primero, aquí hay algunos resultados numéricos:
\begin{align*} a &= 1 \\ b &\approx 0.384369194474690789828391313191545078531 \\ c = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} &\approx 0.923179463776614417385720356966316449484 \\ \varphi &\approx 0.662140513907384715377580828031180874720 \,\text{rad} \\ \varphi &\approx 37.93785689151653274240856839763865301015° \\ x &\approx 0.823320543612498211991170347260337013360 \\ y &\approx 0.685480094624740433428838597906083940535 \\ \alpha = \frac{b^2}{a^2} = 1-c^2 &\approx 0.147739677661122668796455680683973472705 \\ \beta = \tan\varphi &\approx 0.779540453991525714639344299875163938705 \end{align*}
$a$ $b$ es la longitud del semieje mayor y menor. $c$ es la excentricidad, e $\pm\varphi$ es el ángulo de rotación entre el central y uno de los alrededores de los puntos suspensivos. $(\pm x,\pm y)$ es el centro de uno de los alrededores de los puntos suspensivos. $\alpha$ $\beta$ , son los dos parámetros mencionados a continuación.
La de arriba es la mejor que he encontrado usando 150 iteraciones con 215 bits numéricos de precisión a lo largo del camino. Yo después de verificar que son, de hecho, precisa, usando exactamente la misma algebraica de cálculo se describe más adelante.
Aquí es lo que yo hice: he definido todos mis geometría en términos de dos parámetros, $\alpha\approx 0.14778$$\beta\approx 0.77656$. La primera define la cónica, como $\alpha x^2+y^2=1$. Por lo contrario a mi la ilustración y las cifras de arriba, estoy usando $1$ ya que la longitud del semieje menor y $\sqrt{\frac1\alpha}$ para los principales internamente, y las cifras fueron escalados después. Entonces me interpretar todo lo projectively, y usar el segundo parámetro para definir $(1,\beta,0)^T$$(-\beta,1,0)^T$, dos puntos en el infinito que representan los haces de rectas paralelas, los dos grupos ortogonales entre sí. A partir de estos puntos que he construcción de las tangentes a la elipse central, y su punto de intersección. Estas son las líneas azules y puntos rojos en la figura anterior. Yo, a continuación, calcular la transformación que estos mapas de la tangente a las líneas de las coordenadas de las líneas, y aplicarlo a la central de la elipse para obtener los alrededores de uno que sin duda le toque los ejes de coordenadas.
Lo siguiente que teóricamente considerar los dos puntos de intersección que esta elipse se puede tener con la central. Pero lo que es más importante, considero que la línea que une estos dos puntos. El beneficio aquí es, por un lado, que esta línea es en realidad más fácil de calcular que los puntos de intersección, y que en el otro lado de la línea será real, incluso si los puntos suspensivos no se intersecan en los puntos.
Ahora, la tarea puede ser formulada en términos de la posición de esta línea wrt. el central de la elipse: se debe tocar la central de la elipse, y cualquier cambio de $\beta$ en cualquier dirección debe provocar que se cruzan la central de la elipse, por lo que debe ser óptima en un determinado sentido. El adjunto de la matriz central de la elipse se representan de una forma cuadrática, y conectar la línea de la que forma resultará en un solo número. De acuerdo a las condiciones anteriores, este número debe ser cero y óptima. En mi elección de signos debe ser máxima, pero el signo de los cambios se produce fácilmente.
Ahora viene el numéricos refinamiento a través de interseccion. Cada bucle se ajusta primera $\beta$ $\alpha$. $\beta$ está ajustado hacia la optimalidad, mientras que $\alpha$ está ajustado hacia la raíz, donde el resultado es cero. Entonces, en otras palabras, elegir el ángulo tal que la línea es lo más cercano a la centro de la elipse central, a continuación, elija la excentricidad de modo que para que el ángulo es todavía sólo toca la central de la elipse. El ajuste es bastante estúpido interseccion, que funciona desde siempre me quedo cerca de la solución real y no tiene que preocuparse de otros optima. La velocidad de convergencia puede ser mejorado, pero prefiero mantener la simplicidad de mi enfoque y esperar un poco más.
He subido el sabio código para mis cálculos aquí. Si alguien encontrara la expresión simbólica para la mínima excentricidad, entonces supongo que se podría ajustar mi código para comprobar que.
Como achille hui señaló en un comentario más abajo, un post por Jim Ferry ya contiene una solución exacta, es decir, en términos de números algebraicos. Ahora he sido capaz de reproducir ese resultado. La idea clave es trabajar menos en términos de los pasos de construcción, y en lugar de en términos de una caracterización de las propiedades deseadas. Esto permite evitar el uso de raíces cuadradas, por lo que uno puede expresar todo (excepto los ángulos) como polinomios.
Empecé con dos elipses, uno horizontal, con semimajor eje de la longitud de la $\sqrt{\frac1\alpha}$ y vertical semiminor eje de $1$, el otro girado por $\arctan\beta$ y traducido por $(x,y)$. Yo formulado tanto como $3\times 3$ matrices en el polinomio anillo de $\mathbb Q[\alpha,\beta,x,y]$. La rotación de las $\arctan\beta$ suele implicar una raíz cuadrada, pero que la multiplicación se aplica a la matriz de la cónica desde ambos lados (es decir, la cónica es conjugado por ella), y si se hace bien (es decir, la raíz cuadrada colocada en la homogeneización plazo, en la esquina inferior derecha de la matriz de transformación), las dos raíces cuadradas se multiplicará por lo que no hay raíz cuadrada a la izquierda en el resultado. Aquí están mis dos elipses. (En caso de que te preguntes, $E_2$ es el girado, pero no se traduce paso en el medio.)
$$E_1=\begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ E_3= {\scriptsize\begin{pmatrix} \beta^{2} + \alpha & \alpha \beta - \beta & - \beta^{2} x - \alpha \beta y - \alpha x + \beta y \\ \alpha \beta - \beta & \alpha \beta^{2} + 1 & - \alpha \beta^{2} y - \alpha \beta x + \beta x - y \\ - \beta^{2} x - \alpha \beta y - \alpha x + \beta y & - \alpha \beta^{2} y - \alpha \beta x + \beta x - y & \alpha \beta^{2} y^{2} + \beta^{2} x^{2} + 2 \alpha \beta x y + \alpha x^{2} - 2 \beta x y - \beta^{2} + y^{2} - 1 \end{pmatrix}} $$
(Tenga en cuenta que supongo que podría haber girado mi elipse en la dirección opuesta, pero eso es irrelevante por ahora.) El hecho de que una determinada línea de toques dada una elipse puede ser calculada a través de la doble quadric, que puede ser fácilmente (es decir, sin divisiones o de las raíces cuadradas) calcula como el adjunto de la matriz. Así que al girar la elipse va a tocar los ejes del sistema de coordenadas de la fib
$$ (1,0,0)\cdot\operatorname{adj}(E_3)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=0 \qquad (0,1,0)\cdot\operatorname{adj}(E_3)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=0 $$
Luego viene la condición de que las dos elipses toque. Cuando la intersección de dos cónicas, un enfoque comienza por buscar las raíces de $\det(\mu E_1+E_3)=0$. Estos valores de $\mu$ resultado en una cónica degenerada $\mu E_1+E_3$ compuesto de un par de líneas, y pasando por los puntos de intersección. Si dos puntos de intersección coinciden, es decir, si usted tiene un punto de mayor multiplicidad, entonces este tercer grado del polinomio en $\mu$ debe tener un cero de mayor multiplicidad así como algunas de las cónicas degeneradas coincidirá. Así que para encontrar el tocar condición, nos fijamos en el discriminante de $\det(\mu E_1+E_3)$ con respecto al $\mu$. Esta es la tercera condición.
Ahora uno puede utilizar resultantes para eliminar las variables, a saber, eliminar $x$$y$, con lo que la combinación de las tres condiciones en un único polinomio en $a$$b$. Para este paso, el Señor Lewis utilizó un método desarrollado por él mismo y que se denomina "Dixon-FED" (para la Detección Temprana de Factores). Pero a pesar de que su sistema de álgebra computacional de Fermat viene con un archivo de la aplicación de ese método, todavía no he trabajado cómo ajustar los diferentes mandos para llegar a resolver un conjunto diferente de ecuaciones, y la interfaz de usuario guardado molesto conmigo. Así que me pegue con la salvia, y el ingenuo de cálculo tomó bastante tiempo, alrededor de 10 minutos para el cálculo hasta el resultado final, sino principalmente para este paso de aquí. En la final, el polinomio resultante había 2069 términos. Yo factorizados y engañado un poco, al no considerar todos los posibles factores, pero sólo el que tuvo el menor valor absoluto para el numéricos aproximados de los valores obtenidos anteriormente.
Estamos buscando el mínimo valor de $\alpha$ satisfacer todos los requisitos. Este optimalidad restricción corresponde a una raíz de la condición en la que nos acaba de encontrar que es un doble de la raíz con respecto a la rotación. Después de todo, queremos una intersección situación en ambos lados de la solución de $\beta$. Así que calcula el discriminante de este polinomio con respecto a $\beta$, de nuevo factorizados y se utiliza la aproximación numérica para encontrar la correcta factor, que es este:
$$151632\alpha^{12} - 556632\alpha^{11} - 4029183\alpha^{10} + 5710568\alpha^9 + 2456300\alpha^8 - 8614032\alpha^7 - 40073338\alpha^6 - 8614032\alpha^5 + 2456300\alpha^4 + 5710568\alpha^3 - 4029183\alpha^2 - 556632\alpha + 151632$$
Este es esencialmente el mismo polinomio Señor Ferry utilizado en su enfoque de bien, excepto que desde mi $\alpha$ se relaciona con el cuadrado de la relación de ejes, mi exponentes son la mitad de su. Él describe cómo se puede usar la simetría del polinomio (que él llamó un "palíndromo") para el uso de un grado 6 polinomio a partir de la cual todo lo demás puede ser calculada. Pero para mí eso era suficiente, así que me conseguí raíces reales, expresados como números algebraicos en sage, y eligió el más cercano al valor aproximado.
Conectar ese valor en el polinomio antes, el factor relevante de las grandes polinomio en $\alpha$$\beta$, he obtenido un valor de $\beta$. Su polinomio mínimo es particularmente agradable y fácil:
$$16\beta^{12} - 100\beta^{10} + 615\beta^8 - 2468\beta^6 + 3186\beta^4 - 1728\beta^2 + 351$$
(Aquí se observa que el $\beta$ sólo se define a firmar, que es la razón por la que usted no tiene que preocuparse demasiado acerca de la dirección que es la que al girar la elipse.) Después de haber encontrado a$\alpha$$\beta$, podría calcular todos los demás, y en el hecho de verificar que las cifras dadas anteriormente eran realmente preciso. Voy a actualizar mi cargados de código para incluir el código y salida para este cálculo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
