Curvas de dispersión de Rayleigh-cordero

Question

En un plano infinito elástico de la placa de espesor $d$, se muestra que los modos de oscilación correspondiente a un fijo de tiempo-frecuencia $\omega$ han ola-los números dados por las soluciones de la de Rayleigh-Cordero ecuaciones

$$\frac{\tan (pd)}{\tan (qd)}=-\left[\frac{4k^2pq}{\left(k^2-q^2\right)^2}\right]^{\pm 1}$$

donde el +1 exponente corresponde a los modos simétricos y el exponente -1 a antisimétrica modos, y

$$p^2=\frac{\omega ^2}{c_L^2}-k^2$$

$$q^2=\frac{\omega ^2}{c_T^2}-k^2$$

donde $c_L^2=\frac{2\mu +\lambda }{\rho }$ es una onda longitudinal velocidad y $c_T^2=\frac{\mu }{\rho }$ es la onda transversal-velocidad ($\mu$$\lambda$la Cojo constantes). A partir de esta ecuación se obtiene una cierta dispersión de las curvas, en relación a la ola-el número de cada modo de la frecuencia. Mi pregunta es: Para cada valor de la frecuencia, la Rayliegh-Cordero ecuaciones dar un discreto número de onda de los números. ¿Cómo se decide que la onda-número pertenece a la cual modo? Es decir, si tengo un conjunto de onda de los números que corresponde a un valor de la frecuencia, es decir $\omega_1$, y, a continuación, obtener un nuevo conjunto de onda números correspondientes a una frecuencia diferente, decir $\omega_2$, entonces ¿cómo puedo identificar onda números correspondientes a diferentes frecuencias, como pertenecientes a la misma modalidad?

Espero que me he explicado yo mismo adecuadamente. Usted puede ver que mi pregunta puede también ser enmarcado para muchos otros trascendental ecuaciones con varias raíces que se muestran en la física matemática. Elegí este problema en particular para hacer mi punto. Uno podría pensar que es sólo una cuestión de ordenar la ola-los números en orden creciente. Pero he visto la dispersión de las curvas en las que las curvas para los diferentes modos se cruzan, por lo que un pedido criterio no es aplicable (no estoy seguro si esto sucede por la de Rayleigh-Cordero modos, a pesar de que)

Gracias. Y lo siento por el ladrillo de texto.

Answer 1

Déjame ver si entiendo correctamente la pregunta: en general, nuestras soluciones para un sistema supondrá para cada wavevector k un conjunto de frecuencias $\omega(k)$. Cuando estas curvas dando a $\omega(k)$ no se cruzan, no es en sentido obvio en el que podemos separar nuestras soluciones en diferentes modos. Pero cuando se de la cruz ¿cómo podemos asignar modos?

Creo que la respuesta es, en general, nosotros no. (O que hacer, pero no debemos.) A menos que las soluciones tienen diferentes propiedades de simetría, que es bastante común, nuestra etiqueta no tiene significado excepto comodidad. No creo que esto no es del todo acerca de las definiciones. Considere la posibilidad de adiabática de movimiento: pensamos que si nos perturban nuestra solución lo suficientemente despacio como se acaba de cambiar su frecuencia y número de onda, pero permanecer en el mismo modo. Pero en la proximidad de un cruce de dos modos de nuestra solución va a evolucionar, tienen componentes en ambos modos, la restricción de simetría. Así es que no tiene ningún sentido pensar en ellos como modos distintos.

(El único caso que se me ocurre donde el etiquetado de los modos en realidad importa es en los aislantes topológicos, un caso que no requiere [bulk] banda tocando. Aparte de que es sólo una conveniencia o etiquetas de las propiedades de simetría)

Disculpas si no he entendido tu pregunta