Muestran que

Question

Tengo una pregunta ... Sabemos que$(a,b)=1$ y queremos mostrar que$(a-b,a^2+ab+b^2)=1 \text{ or } 3$. ¿Cómo puedo mostrar esto? Pensé que podríamos suponer que$(a-b,a^2+ab+b^2)=d$. Entonces sabemos que$d|a-b$ y$d|,a^2+ab+b^2$. Pero ¿cómo puedo continuar?

Answer 1

Sugerencia $\,\ (a\!-\!b,a^2\!+ab+b^2)\overset{\color{#c00}{(1)}} = (a\!-\!b,\color{#c0f}{3b^2})\overset{\color{#0a0}{(2)}} = (a\!-\!b,3),\ $ por$\ \color{#0a0}{(2)\!:\ }(a\!-\!b,b) = (a,b) = 1,\ $ y por

$\, \color{#c00}{(1)\!:}\, \ (a\!-\!b,c) = (a\!-\!b,d) \,$ si y $\,c\equiv d\pmod{\!a\!-\!b},\,$

Answer 2

Algunas veces es útil intentar dividir estas cosas. Entonces aquí (tratando el cuadrático como un polinomio en$a$ y usando el algoritmo de división para polinomios)$$a^2+ab+b^2=(a-b)(a+2b)+3b^2$ $ usted debería poder hacer algún progreso desde allí ...

Answer 3

$d|a-b$,$d|a^2+ab+b^2$ y$a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab$ implican que$$d|3ab,d|3a(a^2+ab+b^2)=3a^3+3a^2b+3ab^2,d|3ab(a-b)=3a^2b-3ab^2,d|2a(3ab).$ $ Por lo tanto,$$d|3a^3+3a^2b+3ab^2+3a^2b-3ab^2-6a^2b=3a^3$$ and similarly $ d | 3b ^ 3 $ y ahora$$d\le(3a^3,3b^3)=3(a^3,b^3)=3.$ $ so $ d = 1 \, \ text {o} \, 2 \, \ text {o} \, 3$, but $ d$ can't be $ 2$, since in this case $ a ^ 3$ and $ b ^ 3$ must be two even numbers and $ (a ^ 3, b ^ 3) \ neq1$. (Note that $ (a, b) = 1$ implies $ (a ^ 3, b ^ 3) = 1 ps