Me preguntaba si los conceptos de Nivel de Fermi o potencial químico tienen algún sentido en el contexto de los problemas de muchos cuerpos. Entiendo que cuando se trabaja con un hamiltoniano de un solo electrón, el nivel de Fermi es sólo la energía del último estado ocupado o, si hay una temperatura finita, alguna energía entre el HOMO y el LUMO. Pero si estamos tratando con un hamiltoniano con interacciones (dicho brevemente, tenemos términos que parecen $\hat{c}^\dagger \hat{c}^\dagger \hat{c} \hat{c}$ aparte de los términos de un electrón $\hat{c}^\dagger \hat{c}$ ), la imagen de una sola partícula ya no es válida: No hay estados de un solo electrón. Por lo tanto, mi pregunta: ¿es correcto decir que el concepto de nivel de Fermi sólo tiene sentido en el contexto de los hamiltonianos de un electrón? ¿O me estoy perdiendo algo? ¿Existe acaso una definición más general de la noción de energía de Fermi, que no requiera suponer que estamos en un cuadro de un solo cuerpo?
Respuesta
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La energía de Fermi $\xi_F$ y el potencial químico $\mu(T)$ son dos cantidades distintas pero relacionadas. En principio, el número de la partícula se conserva. Sin embargo, es difícil tratar un sistema con un número de partículas fijo $\mathcal{N}$ . Para liberar esta restricción introducimos un multiplicador de Lagrange $\mu(T)$ y permitir que el número de partículas varíe. El potencial químico se fija finalmente a partir de la ecuación de conservación del número de partículas. A partir de esta definición, se ve que el potencial químico $\mu(T)$ es una cantidad bien definida incluso para sistemas que interactúan y depende de la temperatura (esto es importante).
La energía de Fermi $\xi_F$ es el potencial químico $\mu(T)$ en $T=0$ . También en este caso se trata de una cantidad bien definida para los sistemas que interactúan. Nótese que el potencial químico depende de la temperatura, pero la energía de Fermi no.
En principio, según la definición que acabo de introducir, tienes razón. La energía de Fermi es la energía del último estado ocupado, es una definición válida sólo para sistemas que no interactúan. La razón por la que se utiliza también para los sistemas que interactúan, se debe a una Teoría de los líquidos de Fermi presentado por Landau. Landau argumentó que a temperatura cero, si se satisfacen algunas condiciones, un sistema de fermiones interactuantes se comporta como un sistema no interactuante pero con parámetros renormalizados. Tales sistemas se denominan líquidos de Fermi.
