Galois Propiedades de los Valores de las Formas Modulares

Question

Deje $f \in S_0(N)$ ser normalizado Hecke eigenform. Es bien sabido que sus coeficientes son enteros algebraicos, y $f^\sigma$ se encuentra en $S_0(N)$$\sigma \in G_{\mathbb{Q}}$. En CM de los puntos de $z \in \mathbb{H}$, $f$ toma algebraica de valor.

Puede algo ser dicho acerca de la relación entre el $f(z)$ $f^\sigma(z)$ o $f(z^{\sigma})$?

Soy consciente de que hay una buena relación en el $p$-ádico, debido a la $p$-ádico de convergencia de la cúspide de las formas, y que este está detrás de la extraordinaria utilidad de la Tate curva, pero estoy más interesado en el comportamiento global.

Tal vez esto es una ilusión, pero ¿hay alguna ($p$-ádico o global) resultados para no la cúspide de la forma así?

Answer 1

Cuando se trabaja con formas modulares como objetos de análisis, el Galois estructura es algo invisible y que tiene que ser redescubierto el uso de la Hecke álgebra. Sin embargo, no es puramente algebraico de la noción de forma modular, debido a Katz, lo que hace que la Galois estructura (entre otras cosas) mucho más transparente. Katz construcción funciona bien para las estructuras de nivel para que los correspondientes módulos functor es representable, y por desgracia, esto excluye el caso de $\Gamma_0(N)$. Sin embargo, para el nivel de $\Gamma = \Gamma_1(N)$ o $\Gamma = \Gamma(N)$ ( $N>4$ ), los módulos problema es representable por una afín a la curva de $Y_\Gamma$$\mathbf Q$, y el uso de la teoría de Katz, el siguiente resultado es casi tautológica:

1. Deje $f$ ser una forma modular de peso $k$ y el nivel de $\Gamma$. Supongamos que el $q$-la expansión de la $f$ ha coeficientes en $\overline{\mathbf Q}$. Deje $\sigma \in G_{\mathbf Q}$. A continuación,$f^\sigma$, obtenido por la aplicación de $\sigma$ $q$- la expansión de la $f$, es una forma modular de el mismo peso y nivel de $f$.

2. Deje $p \in Y_\Gamma(\overline{\mathbf Q})$ $\overline{\mathbf Q}$- punto de $Y_\Gamma$. Deje $f$, como en (1), se forma modular con coeficientes en $\overline{\mathbf Q}$. A continuación, $f(p) \in \overline{\mathbf Q}$ $$f^\sigma(p) = f(p^\sigma) = f(p)^\sigma.$$

A partir de la teoría de los complejos de la multiplicación, se sabe que un CM del punto de $p \in Y_\Gamma(\mathbf C) = \mathbf H/\Gamma$ es de hecho una $\overline{\mathbf Q}$-punto de $Y_\Gamma$ (más precisamente, es definida sobre el Hilbert clase de campo de los imaginarios cuadrática de campo a la que se pertenece). (Advertencia: sólo porque un punto de los de la mitad superior del plano es algebraico, no significa que corresponde a una expresión algebraica punto de $Y_\Gamma$. La identificación de $\mathbf H/\Gamma$ $Y_\Gamma(\mathbf C)$ es trascendental. Es una propiedad especial de CM puntos que son algebraicas "en ambos lados", pero en el contexto actual, esto es más de un escollo que cualquier otra cosa.) Se sigue de esto y de (2) que:

Teorema. Deje $f$ ser una forma modular de peso $k$ y el nivel de $\Gamma$ cuyas $q$-expansión ha coeficientes en $\overline{\mathbf Q}$. Deje $p$ ser un CM de punto en la mitad superior del plano. A continuación, $f(p)$ es algebraica, y $f^\sigma(p) = f(p)^\sigma$ por cada $\sigma \in G_{\mathbf Q}$.

Sin embargo, mantener el citado escollo en mente: la igualdad de con $f(p^\sigma)$ no tiene ningún sentido desde el clásico punto de vista, porque Galois de acción en $p$ se lleva a cabo en $Y_\Gamma(\overline{\mathbf Q})$, no en la mitad superior del plano -. De hecho, en el sentido ingenuo, $p^\sigma=p$ o $p^\sigma = \overline{p}$ no aún se encuentran en la mitad superior del plano, por lo que la expresión $f(p^\sigma)$ es de sentido desde el clásico punto de vista.

Más de $\Gamma_0(N)$, la misma que los resultados son verdaderas, pero para demostrar de esta manera, tenemos que tirar todo a $\Gamma(N)$ y empuja todo hacia abajo al final.