Suma de cubos racionales

Question

En Hardy & Wright "An Introduction to the Theory of Numbers" hay dos teoremas:

Teorema 233: Hay racionales positivos que no son sumas de dos cubos racionales no negativos.

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Teorema 234: Todo racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos.

La primera se demuestra proporcionando un contraejemplo: el número $3 \in \mathbb Q$ La segunda se demuestra constructivamente utilizando la teoría elemental de los números.

Ahora me pregunto, ¿podemos clasificar los racionales $r \in \mathbb Q$ que satisfacen el teorema $233$ - los racionales que son no ¿suma de uno o dos (pero tres) cubos positivos?

Answer 1

Te has encontrado con un problema de probable no solución total hasta el final de los tiempos. En realidad, usted quiere saber para qué números racionales $A$ (se puede asumir sin pérdida de generalidad que $A$ es un número entero positivo) la ecuación $X ^ 3 + Y ^ 3 = AZ ^ 3$ tiene soluciones racionales.

Esta ecuación representa una curva elíptica de la que el primero que la estudió de cerca fue el matemático noruego E. S. Selmer (1920-2006) que calculó (¡sin ordenadores!) una tabla muy laboriosa de $1$ a $166$ en la que los enteros representables por esta ecuación ( $6,7,9,37,61,….$ ) y en el que implícitamente los enteros que no aparecen son los que no se pueden representar ( $10,11,21,54,55,56,…..$ ).