Aproximación a $L^1$ con convoluciones

Question

Dejemos que $f\in L^1([0,1])$ y supongamos que $\int_0^1f\varphi^{(n)} = 0$ por cada $\varphi\in C_c^\infty(0,1)$ , donde $\varphi^{(n)}$ es la enésima derivada. Demuestre que $f$ es un polinomio de grado máximo $n-1$
(Pista dada: Aproximadamente $f$ por funciones suaves mediante convoluciones)

Pensamientos:
Siguiendo la pista, elegimos $\psi\in C_c^\infty$ tal que $\int_0^1\psi =1$ y definir $\psi_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}\psi(x/\epsilon)$ para que $(f*\psi_\epsilon)\to f$ en $L^1$

Después de esto, estoy un poco inseguro.
Si de alguna manera mostramos $\int_{[0,1]} (f*\psi_\epsilon)^{(n)}\varphi = 0$ (lo que no he hecho), y dejar que $\epsilon \to 0$ ¿Cómo se mostraría eso? $f$ es incluso diferenciable, y un polinomio.

Answer 1

El truco consiste en trasladar la convolución de $f$ a $\varphi$ . Para tener la definición bien planteada suponemos $f,\ \varphi$ y $\psi$ que se definirá como $0$ en el exterior $[0,1]$ (la convolución se define en todo el espacio). $$\int_0^1 (f*\psi_\epsilon)^{(n)}(x)\varphi(x)dx=(-1)^{n}\int_0^1 (f*\psi_\epsilon)(x)\varphi^{(n)}(x)dx=\\ (-1)^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\psi_\varepsilon(x-y)\varphi^{(n)}(x)dydx=\\ (-1)^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_\varepsilon(x-y)\varphi^{(n)}(x)dxdy=(-1)^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)(\tilde{\psi}_{\varepsilon}*\varphi^{(n)})(y)dy=\\ (-1)^{n}\int_{0}^{1}f(y)(\tilde{\psi}_{\varepsilon}*\varphi^{(n)})(y)dy= (-1)^{n}\int_{0}^{1}f(y)(\tilde{\psi}_{\varepsilon}*\varphi)^{(n)}(y)dy=0, $$ donde $\tilde{\psi}(t):=\psi(-t)$ . Sólo para elaborar un poco:

• La segunda igualdad se mantiene porque el soporte de $\varphi^{(n)}$ está contenida en $(0,1)$ .
• La tercera igualdad desde abajo se mantiene para $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño porque el apoyo de $\tilde{\psi}_{\varepsilon}*\varphi^{(n)}$ está contenida en un $\varepsilon-$ barrio del apoyo de $\varphi^{(n)}$ que es un compacto contenido en $(0,1)$ .
• La segunda igualdad desde abajo es una de las propiedades de la convolución.
• La última igualdad proviene de la suposición de que $(\tilde{\psi}_{\varepsilon}*\varphi)^{(n)}\in C_c^\infty(0,1)$ (de nuevo para $\varepsilon$ suficientemente pequeño)