Demuestra que $TX=TY $

Question

Esta pregunta está relacionada con Demuestra que $OB=OC $

Sea $ABC $ un triángulo agudo y sea $M $ sea el centro de $ [BC ]$ .

Sea $\mathcal{C} $ el círculo del centro $M $ y radio AM.

$AB\cap \mathcal {C}=D $

$AC\cap \mathcal {C}=E$

$AM\cap \mathcal {C}=Z $

Sea $XY $ a través de $Z $ s.t. $X\in AB $ , $Y\in AC $ s.t. $XY||BC $ .

Sea $T $ las intersecciones de las tangentes a $\mathcal {C} $ en $D $ y $E $ .

@Mick tratar de demostrar que $TX=TY $ . ¿Existe una prueba sintética para esto?

Answer 1

Utilizaré números complejos. El círculo de centro $M$ es el círculo unitario, las letras minúsculas representarán los puntos con las mayúsculas correspondientes.

Desde $D$ es el segundo punto de intersección de la recta $AB$ con el círculo unitario tenemos $$ d=\frac{b-a}{1-\bar{b}a},~\text{similarly}~ e=\frac{c-a}{1-\bar{c}a}$$ Pero $M$ es el punto medio de $BC$ por lo que tenemos $c=-b$ . Así que.., $$e=-\frac{b+a}{1+\bar{b}a}$$ Ahora, $T$ es la imagen por inversión respecto al círculo unitario del punto medio de $DE$ . Así que $$t=\frac{2}{\bar{d}+\bar{e}}$$ Ahora, recordando que $\bar{a}=1/a$ obtenemos $$\bar{d}+\bar{e}=\frac{a\bar{b}-1}{a-{b}}-\frac{a\bar{b}+1}{a+b}= \frac{2a(|b|^2-1)}{a^2-b^2}$$ Así que.., $$t=\frac{a^2-b^2}{a(|b|^2-1)}$$ En consecuencia $$t-z=t+a=\frac{a\bar{b}-b\bar{a}}{|b|^2-1}b=\frac{\Im(a\bar{b})}{|b|^2-1}(2ib) $$ Por último $\dfrac{t-z}{b-c}\in i\mathbb{R}$ . Esto demuestra que $TZ\bot BC$ pero $BC \parallel XY$ Por lo tanto $TZ\bot XY$ . Por fin, $Z$ es el punto medio de $XY$ porque $M$ es el punto medio de $BC$ Así que $TZ$ es la mediatriz de $XY$ . Por lo tanto $TX=TY$ . Hecho.

Answer 2

Si $O$ es el punto medio de $AT$ entonces $\triangle XYT$ es la imagen de $\triangle BCO$ después de la homotecia con el centro en $A$ y ratio $2$ . Esto es una simple consecuencia de los hechos $AM=MZ$ , $AO=OT$ , $XY \parallel BC$ . Por lo tanto, para demostrar que $TX=TY$ es lo mismo que demostrar que $OB=OC$ . Se puede encontrar una prueba sintética de esto último aquí .