$2$ igual integrales incorrectos pero un integral converge absolutamente otro no es

Question

Puedo mostrar por partes
$$\int{0}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x}dx=\int{0}^{\infty}\frac{\sin x}{(1+x)^2}dx$$.
Pero cómo argumentar que uno de ellos es absolutamente convergente y otro no?
¿Es posible argumentar utilizando prueba integral? como $\int{0}^{\infty}\frac{\sin x}{(1+x)^2}dx$ $\leq \int{0}^{\infty}\frac{|\sin x|}{(1+x)^2}dx$ que es convergente por prueba integral como $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^2}$ es convergente.
O hay otra manera de mostrar. Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

El segundo integrando tiene valor absoluto limitado por $1/(1+x)^2$ que tiene un integral finito. Por otro lado uno tiene valor absoluto $$\frac{|\cos x|}{1+x}.$ $ el numerador tiene período $\pi$, de modo que \int $$ {n\pi} ^ {(n+1) \pi} \frac {| \cos x |} {1 + x} \,dx \ge\frac1{1+(n+1)\pi} \int {n\pi} ^ {(n+1) \pi} | \cos x | \, dx = \frac {A} {1 + (n +1) \pi} $$ donde $$A=\int_0^\pi|\cos x|\,dx>0.$ $ \int0^\infty\frac{|\cos $$ tan x |} \,dx\ge\sum {1 + x} {n = 0} ^ \infty \frac A {1 + (n +1) \pi} $ que es una serie divergente.

Answer 2

Un enfoque alternativo: la convergencia absoluta de $\int{0}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{(x+1)^2}\,dx$ es trivial, pero la función $\left|\cos x\right|$ tiene un valor positivo ($\frac{2}{\pi}$), por lo tanto la integral $\int{0}^{+\infty}\frac{\cos x}{x+1}\,dx$ no es absolutamente convergente por lema de Kronecker.