Yo lo explicaría así:
Cuando decimos $a \approx b$ $(a,b,n\in\mathbb{R})$ Esto no significa necesariamente que $na\approx nb$ .
Esto se debe a que $na-nb=n(a-b)$ Esta diferencia puede aumentar drásticamente si $|n|$ aumenta. Cuando ambos lados de la aproximación se multiplican por $n$ veces, su diferencia también se incrementa en $n$ tiempos.
El segundo y tercer paso del método $1$ se ve así:
$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \frac{1}{8} + \frac{3}{128} - \frac{5}{1024})$$
$${\sqrt{2}} \approx \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \frac{1}{8} + \frac{3}{128} - \frac{5}{1024}){\sqrt{5}}$$
La segunda línea es siempre cierta porque
$$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8\sqrt{2}} + \frac{3}{128\sqrt{2}} - \frac{5}{1024\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{8} + \frac{3}{128} - \frac{5}{1024}\right)$$
Sin embargo, la tercera línea no siempre es cierta, ya que la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho se incrementa en $\sqrt{5}$ veces (obviamente, ambos lados son positivos).
El cuarto paso también aumenta la diferencia entre ambos lados:
$$2 \approx (1 - \frac{1}{8} + \frac{3}{128} - \frac{5}{1024}){\sqrt{5}}$$
Esta vez la diferencia entre ambos lados vuelve a aumentar en $\sqrt{2}$ veces, lo que hace que la diferencia desde el principio se incremente en $\sqrt{5}\times \sqrt{2}=\sqrt{10}$ tiempos en general.
El quinto paso del método $1$ se ve así:
$$2 \approx (\frac{915}{1024}){\sqrt{5}}$$
El quinto paso es verdadero porque el valor del lado derecho no se modifica.
El sexto paso es el método $1$ se ve así:
$${\sqrt{5}} \approx \frac{2048}{915}$$
Hay dos maneras de llegar a una conclusión a partir del quinto paso:
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Método $1$ divide ambos lados por $\dfrac{915}{1024}$ o multiplica ambos lados por $\dfrac{1024}{915}$ Esto hace que la diferencia entre ambos lados aumente de nuevo en $\dfrac{1024}{915}$ tiempos. Debido a esto, la diferencia "inicial" se ha incrementado en $\dfrac{1024}{915}\sqrt{10}$ tiempos en general.
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Otro método: A partir del quinto paso, multiplicar ambos lados por $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ tiempos. Esto hace que la diferencia aumente de nuevo en $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ veces y el resultado final es efectivamente $\sqrt{5} \approx \dfrac{4575}{{2048}}$ Esta es la respuesta del método $2$ . Haciendo esto, la diferencia "inicial" se ha incrementado en $\sqrt{10}\times\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ tiempos.
Para el método $2$ Lo haré rápidamente:
$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8\sqrt{2}} + \frac{3}{128\sqrt{2}} - \frac{5}{1024\sqrt{2}}$$ $$ \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} \approx \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8\sqrt{2}} + \frac{3}{128\sqrt{2}} - \frac{5}{1024\sqrt{2}}$$ $$ \frac{\sqrt{2}}{{5}}\sqrt{5} \approx \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8\sqrt{2}} + \frac{3}{128\sqrt{2}} - \frac{5}{1024\sqrt{2}}$$
Los tres pasos no aumentan la diferencia entre ambos lados.
$$\sqrt{5} \approx (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8\sqrt{2}} + \frac{3}{128\sqrt{2}} - \frac{5}{1024\sqrt{2}})\frac{5}{\sqrt{2}}$$
La diferencia entre ambos lados se incrementa en $\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ tiempos.
$$\sqrt{5} \approx (\frac{5}{{2}} - \frac{5}{8(2)} + \frac{15}{128(2)} - \frac{25}{1024(2)})$$ $$\sqrt{5} \approx \frac{4575}{{2048}}$$
La diferencia entre ambos lados no se modifica en ninguno de los pasos anteriores, por lo que la diferencia global se incrementa en $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ veces, que es lo mismo que el segundo método del último paso del método $1$ .
Utilizar una calculadora:
$\dfrac{1024}{915}\sqrt{10}=3.538986146...$
$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=3.535533906...$
Los dos valores están muy próximos entre sí, lo que explica que la diferencia sea tan pequeña.
Nota: No he dicho nada sobre la corrección de ninguno de estos dos métodos, esto es sólo una prueba sobre por qué dos métodos son diferentes.
