Encuentre una condición suficiente y necesaria en$I$ para que$\{M \in M_n(\mathbb R), \ rank(M) \in I \}$ esté conectado.

Question

Deje$n \in \mathbb N$ y$I \subset [| 1, n |]$. Encuentre una condición necesaria y suficiente en$I$ para que$\{M \in M_n(\mathbb R), \ rank(M) \in I \}$ esté conectado.

Sé que$\{M \in M_n(\mathbb R), \ rank(M) =n\}$ no está conectado, ya que$\det$ es continuo, mientras que$\mathbb R^*$ no está conectado.

¿Tienes una pista para esto? Gracias.

Answer 1

Deje $r<n$$Z_r=\{A\in M_n(\mathbb{R}); rank(A)=r\}$. .

$\textbf{Proposition 1.}$ $Z_r$ es un arcwise conjunto conectado.

$\textbf{Proof.}$ Deje $A\in M_n(\mathbb{R})$. A continuación, $rank(A)=r$ fib hay $P=\begin{pmatrix}P_{r,r}&P_{r,n-r}\\P_{n-r,r}&P_{n-r,n-r}\end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}Q_{r,r}&Q_{r,n-r}\\Q_{n-r,r}&Q_{n-r,n-r}\end{pmatrix}$ invertible s.t. $A=Pdiag(I_r,0_{n-r})Q$.

Tenga en cuenta que $P_{r,n-r},P_{n-r,n-r}$ (segundo bloque de la columna de $P$) y $Q_{n-r,r},Q_{n-r,n-r}$ (segundo bloque de la fila de $Q$) son casi arbitraria.

Si $\det(P)<0$, en cambio la última columna de $P$ con su opuesto.Si $\det(Q)<0$, luego cambiar a la última fila de $Q$ con su opuesto. Entonces podemos suponer que la $P,Q\in GL_n^+$, un arcwise conjunto conectado, y hemos terminado. $\square$

$\textbf{Proposition 2.}$ Deje $I$ ser un subconjunto de a$[[0,n-1]]$$Z_I=\{A\in M_n(\mathbb{R}); rank(A)\in I\}$. A continuación, $Z_I$ es un arcwise conjunto conectado.

$\textbf{Proof.}$ Deje $U,V$ s.t. $rank(U)=u<rank(V)=v$. Hay dos arcos que unen $U,diag(I_u,0_{n-u})$ $V,diag(I_v,0_{n-v})$ a través de$Z_u$$Z_v$. Por otra parte, el segmento de $t\in [0,1]\rightarrow (1-t)diag(I_v,0_{n-v})+tdiag(I_u,0_{n-u})$ está incluido en $Z_u\cup Z_v$. $\square$

Answer 2

Sugerencias.

1. Denote el conjunto de todas las clasificaciones -$k$ matrices por$R_k$. Entonces $\{M\in M_n(\mathbb R):\operatorname{rank}(M)\in I\}=\cup_{k\in I}R_k$.
2. Cada matriz cuadrada real admite una descomposición de valor singular sobre$\mathbb R$.
3. $SO_n(\mathbb R)$ está conectado a pathwise a$I_n$.
4. Denote cualquier$r\times r$% matriz cero por$0_r$. Dejar $D=\operatorname{diag}(1,\ldots,1,\pm1)\in M_n(\mathbb R)$. Si$S_k$ es una matriz diagonal positiva$k\times k$ y$m$ es un número entero tal que$0\le m<n$ y$m\le k$, luego$(S_k\oplus0_{n-k})D$ está conectado a la ruta $\Lambda=\left(I_m\oplus0_{n-m}\right)D=I_m\oplus0_{n-m}$ en $R_m\cup R_k$.

Answer 3

$GL_n(\mathbb{R})\cup\{A\}$ está conectado donde ${\rm det}\ A=0$

Prueba : Fix$A$${\rm det}\ A=0$.

Si utilizamos Jordan en la forma, a continuación, $A= D+ N$ donde $D$ es una diagonal. Si $D$ $k$- ceros, por ejemplo, $D={\rm diag} \ (0,\cdots,0,\ast,\cdots)$, then define $$D_t=(t,|t|,\cdots,|t|,\ast,\cdots)$$

A continuación,$A_t=D_t+N$, de modo que ${\rm det}\ A_t$ positivos y negativo.

Supongamos ahora que ${\rm det}\ A_t>0$$t>0$. Por una técnica similar, podemos mostrar que $A$ es el camino conntected a algún tipo de matriz, por ejemplo, ${\rm diag}(1,\cdots,1,-1,-1)$. Por rotación, $A$ puede ser la ruta de acceso conectado a la identidad.