¿Satisface la primer secuencia $p_n+p_m \le p_{n+m} < p_n p_m$?

Question

Hice algunos experimentos en SAGE y parece que cumple con la primera secuencia $p_n$:

%#% $ $$p_n+pm \le p{n+m}

$(n,m) \neq (1,1)$ La última desigualdad es Bertrands postulado.

Aquí está algún sabio código prueba para algunos números primos:

¿Esto es algo conocido (si es cierto)? Y si es así, ¿cómo hace uno probar o refutar, heurística?

Answer 1

La izquierda de la desigualdad es equivalente a la Segunda de Hardy-Littlewood conjetura.

El k-tupla conjecutre, también conocido como Hardy-Littlewood conjetura es la declaración de que la densidad de cada Primer Constelación puede calcularse mediante una sola fórmula general. Si es cierto, entonces hay infinitamente muchos de los números primos gemelos, también infinidad de primer tuplas de la forma $(p, p+4)$, $(p, p+6)$, $(p, p+2, p+6, p+8)$, etc. Tenga en cuenta que esto no implica que el primer tupla $(p, p+2, p+4)$ es infinito, lo cual no es cierto.

Si k-tupla conjetura es verdadera, entonces el Segundo de Hardy-Littlewood conjetura no es cierto. $\pi(3159)=446$, pero no puede ser $447$-tupla de números primos que abarca $3159$ enteros. Dicha tupla es que aún no descubierto, pero la fórmula en la k-tupla conjetura sugiere que la primera de esas tupla es probable que se entre $1.5\times10^{174}$$2.2\times10^{1198}$.

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Por el derecho de la desigualdad, WLOG asumir que $m \le n$. A continuación, para$10 \le n$$3 \le m$, podemos aplicar la desigualdad mencionado por @gammatester. $$p_{m+n}\le p_{2n}<2n\ln{(2n\ln{2n})}<4n{(\ln(n\ln n)-1)}<4p_n\le p_mp_n$$

Para $n<10$, uno puede revisar todos los casos de forma manual. Para $m=1$, es el Postulado de Bertrand. Para $m=2$, está demostrando $p_{n+2}<3p_n$. Se sabe que si $k\ge25$, entonces existe un primo entre el$k$$1.2k$. Es trivial corolario de que $p_{n+2}<1.2^3p_n<3p_n$ si $n>10$, especialmente desde $p_{10}=29>25$.