¿Dependen los valores propios de la elección de la base?

Question

Supongamos que tenemos una base $B$ para un endomorfismo $f$ que tiene valores propios $ \lambda_ {1}, \dots , \lambda_ {k}$ .

¿Cambian o se mantienen estos valores propios si cambiamos a otra base $B'$ ?

Answer 1

Recordemos la definición:

Dejemos que $f$ sea un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ entonces $\lambda$ es un valor propio de $f$ si existe algún tipo de $v \in V$ tal que $f(v)=\lambda v$ .

Esto no implica en absoluto una base del espacio. Por lo tanto, debe ser invariante bajo el cambio de base.

Answer 2

No, los valores propios son invariantes al cambio de base, sólo cambia la representación de los vectores propios por las coordenadas vectoriales en la nueva base.

En efecto, supongamos que

$$Ax=\lambda x$$

y consideremos el cambio de base $x=My$ entonces

$$Ax=\lambda x\implies AMy=\lambda My\implies M^{-1}AMy=\lambda y \implies By=\lambda y$$

Answer 3

El objetivo de los valores propios y los vectores propios es producir un grupo de ejes que definan tu transformación oblicua, de modo que tu transformación oblicua se convierta en una transformación de escala en estos ejes. En todo caso, este te da una buena base (una en la que su matriz es diagonal, es decir, escalar). Sus valores propios son claramente los mismos en la base propia que en cualquier otra base (están a través de la diagonal), por lo que los valores propios son los mismos en todas las bases.

Answer 4

Como dice @Christoph, la definición de un valor propio no implica una base. Dado un espacio vectorial $V$ y el operador lineal $f$ un vector propio de $f$ es un vector v tal que existe un escalar $\lambda$ tal que $f$ ( v ) = $\lambda$ v . $\lambda$ es entonces un valor propio. Una base es un sistema de asociación de tuplas ordenadas y vectores. Se toma un conjunto de base de vectores, y luego se expresa cualquier otro vector como una combinación lineal de esos vectores. Entonces puedes tomar esos coeficientes y representar el vector con una tupla ordenada de esos coeficientes: v \= $c^i$ b $_i$ . A continuación, se puede escribir una matriz que represente $f$ tomando $a_{ij}$ como el coeficiente de b $_i$ de $f$ ( b $_j$ ). Es decir, se aplica $f$ a b $_j$ , a continuación, mire el b $_i$ componente de la respuesta. Haciendo esto para todos los i,j se obtiene $A$ . $A$ entonces representa $f$ pero no es lo mismo que $f$ . Al cambiar la base, cambiará la matriz que representa $f$ y cambiará qué tuplas representan los eignevectores, pero no cambiará qué vectores reales son eigenvectores, y no cambiará los eigenvalores.

Tenga en cuenta que si encuentra un $A$ de una base, y quieres usarla para saber qué $f$ en términos de otra base, primero hay que cambiar el vector a la base original, y luego aplicar $A$ y luego volver a la nueva base. Esto se puede representar con

$S^{-1}AS$ v

donde S está formado por los vectores de la nueva base, expresados en la antigua. La matriz $S^{-1}AS$ se conoce como una conjugación de $A$ por $S$ . Si una matriz puede obtenerse a partir de otra mediante conjugación, las matrices se denominan "matrices similares". Las matrices similares tienen los mismos valores propios, ya que se puede considerar que representan el mismo operador en bases diferentes.