Matriz exponencial en la propagación de tiempo por la ecuación de Dirac libre

Question

Estoy tratando de evaluar $$\exp(-ic \alpha pt /\hslash - i\beta mc^2t/\hslash),$$ donde $$ \alpha = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. $$ La propiedad más básica de estas matrices es, además de a $\beta$ diagonal, es $\alpha^2 = \beta^2 = \mathbb{I}_4$. También tenemos $\alpha \beta + \beta \alpha = 0$.

Esta matriz exponencial surge en el estudio del tiempo de propagación de la 1-D libre de la ecuación de Dirac en relativista de la mecánica cuántica, que dice $$ i\hslash \partial_t \psi(p,t) = (c\alpha p + \beta mc^2) \psi(p,0),$$ donde $\psi$ denota la spinor en el impulso de espacio. Esto nos lleva a la matriz exponencial dada anteriormente, tales que $$\psi(p,t) = \exp(-ic \alpha pt /\hslash - i\beta mc^2t/\hslash) \psi(p,0).$$

En el apéndice de una publicación [1], la solución está dada directamente por (con $\hslash = 1$) $$\left( \mathbb{I}_4 cos(Et) - i\frac{c\alpha p + \beta mc^2}{E} sin(Et)\right), \quad E = \sqrt{p^2c^2 + m^2 c^4},$$ que se ve bastante simple, y es una reminiscencia de la fórmula de Euler. Sin embargo, todavía no era capaz de derivar la solución de los pocos métodos que conozco. Por ejemplo, el caso de $X = A + N$ donde $A$ es diagonal, $N$ es nilpotent y $AN = NA$ no se aplica aquí porque de $\alpha$, que no es nilpotent, y $\alpha$ $\beta$ no conmutan.

Se puede ver de un vistazo?

[1] : véanse las ecuaciones B. 3 y C. 3 en las páginas 39 y 41 en https://arxiv.org/abs/1107.4650 .

Answer 1

$a=-cpt/\hbar$ Y $b=-mc^2t/\hbar$ para mayor comodidad, cuenta que $\exp(ia\alpha+ib\beta)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(ia\alpha+ib\beta)^n$. Pero el hecho de que $\alpha^2=\beta^2$ es la identidad y $\alpha\beta+\beta\alpha=0$, que $(ia\alpha+ib\beta)^{2k}=(-1)^k(a^2+b^2)^k I$ (donde $I$ es la matriz identidad) y $(ia\alpha+ib\beta)^{2k+1}=(-1)^k i(a^2+b^2)^k(a\alpha+b\beta)$. Así que, reuniendo los rendimientos incluso términos: $\cosh(\sqrt{-a^2-b^2})I$ y reunir los impares términos de rendimientos: $\frac{i\sinh(\sqrt{-a^2-b^2})}{\sqrt{-a^2-b^2}}(a\alpha+b\beta)$. Tenga en cuenta que $a$ y $b$ son reales, por lo que podemos sacar un factor de $i$ de cada raíz cuadrada. Recordando que $\cosh(ix)=\cos(x)$ y $\sinh(ix)=i\sin(x)$ y sumando las dos piezas entonces produce el resultado.