Encontrar la ecuación de la línea recta que es tangente a$y = 2^x$.

Question

Problema: Encontrar una ecuación de la recta que es tangente a $y= 2^x$ y que pasa por el punto a $(1,0)$.

Intento: Vamos a $(a, 2^a)$ ser el punto de tangencia. Ahora tenemos que $y' = 2^x \ln(2)$, que se evalúan en el punto de tangencia se convierte en $y' = 2^a \ln(2)$.

Así que la ecuación general de la recta tangente es $y = 2^a \ln(2) (x-a) + 2^a$. Si esta línea es ir a través de $(1,0)$, entonces debemos exigir que $0 = 2^a \ln(2) (1-a) + 2^a$. He reescrito esta como $-2^a = 2^a \ln(2) (1-a)$, que se simplifica a $ -1 = \ln(2) (1-a)$. Ahora estoy teniendo problemas para encontrar $a$ a partir de este. Si me distribuir llego $ a \ln(2) = \ln(2) + 1$ o \begin{align*} a = \frac{ \ln(2) + 1}{\ln(2)} \end{align*}

Puedo simplificar esto? Porque mi libro de texto dice que la recta tangente tiene por ecuación \begin{align*} y = 2e \ln(2) (x-1) \end{align*} ¿Cómo puedo encontrar esta respuesta?

Answer 1

Para mostrar que las respuestas son las mismas, debemos mostrar que si$a=\frac{\ln 2+1}{\ln 2}$ luego$2^a=2e$.

Tenga en cuenta que$a=1+\frac{1}{\ln 2}$, entonces$$2^a=2\cdot 2^{1/\ln 2}=2\cdot (e^{\ln 2})^{1/\ln 2}=2e.$ $

Answer 2

Estoy seguro de que tu respuesta es correcta. Hay una manera alternativa de hacerlo para obtener esa respuesta. En lugar de usar ese punto desconocido para obtener la ecuación de la línea, use$(1,0)$:

ps

Ahora conecte$$y=2^a \ln 2(x-1)$ en él:$(a,2^a)$ $

Esto te da$$2^a=2^a \ln 2(a-1)$. Esto es lo mismo que tienes. Entonces $a=\frac{1}{\ln 2}+1$. Ahora, usando la ecuación más simple de la línea, obtendrá la respuesta del libro.