Sobre sumas que involucran la función totient de Euler

Question

He estado luchando con el siguiente reclamo sin poder probarlo, por lo que su ayuda sería muy apreciada:

Deje$\varphi(n)$ ser la función totient de Euler. Demuestre que hay una constante$0<K$ tal que para cualquier número natural$N$,$KN\leq\frac{\varphi(1)}{1}+\frac{\varphi(2)}{2}+...+\frac{\varphi(N)}{N}$.

Answer 1

Tenemos eso

ps

ps

Por lo tanto, puede elegir$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\varphi(k)}{k} \ge \sum_{k=1}^{n} \left(\left[\frac{n}{k}\right]\frac{k}{n}\right)\frac{\varphi(k)}{k}$.

El último paso usa la identidad:

ps

y la primera desigualdad usa$$ = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left[\frac{n}{k}\right]\varphi(k) = \frac{n+1}{2} $, donde$K = \frac{1}{2}$ da la parte entera de$$\sum_{k=1}^{n} \left[\frac{n}{k}\right]\varphi(k) = \frac{n(n+1)}{2} $.

Se pueden encontrar múltiples pruebas de la última identidad aquí: Identidad que implica la función totient de Euler:$\left[\frac{n}{k}\right] \le \frac{n}{k}$