¿Puede un anillo de característica positiva tener un número infinito de elementos?

Question

Por curiosidad: ¿puede un anillo de característica positiva tener alguna vez un número infinito de elementos distintos? (Por ejemplo, en $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ En realidad, sólo hay siete elementos). Sabemos que cualquier campo/anillo de carácter cero debe tener infinitos elementos, pero no estoy seguro de lo que ocurre arriba.

Answer 1

Considere $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}[x]$ .

Answer 2

Comienza con cualquier conjunto infinito $X$ y que $R$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ . Con las operaciones de diferencia simétrica (como suma) e intersección (como multiplicación), $R$ es un anillo de característica $2$ .

Answer 3

Además del ejemplo más económico de @Brandon, cualquier campo (como $\mathbb Z/p\mathbb Z$ ) tiene un cierre algebraico, y un campo algebraicamente cerrado no puede ser finito.

Answer 4

El OP afirma haber visto los anillos $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y quiere saber si deben existir infinitos anillos de característica $p$ . Aunque exhibir un anillo infinito de característica positiva es fácil, es no es necesario hacerlo para responder afirmativamente a la pregunta. En efecto, para cada primo fijo $p$ los anillos de característica $p$ son la clase de modelos de una teoría de primer orden en el lenguaje de anillos. Sabemos que existen modelos finitos arbitrariamente grandes. De ello se deduce, desde el punto de vista puramente teórico de los modelos, que deben existir modelos infinitos. (Este es el teorema 8 de estas notas . De todos modos esto es como $2+2= 4$ a los teóricos del modelo). Es así: por el teorema de la compacidad, la teoría de los anillos de característica $p$ más la familia de declaraciones " $R$ tiene una cardinalidad de al menos $n$ "para cada número entero $n$ es finitamente satisfecha, por lo que debe ser satisfecha. De hecho, se deduce del Lowenheim-Skolem (véase $\S$ 2.6 de loc. cit. para las afirmaciones... pero no las pruebas) de que hay anillos de característica $p$ de toda cardinalidad infinita.

Si sabes álgebra pero no teoría de modelos, probablemente no te impresionará esta aplicación: es bastante fácil tomar un producto infinito de copias de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Pero el principio es muy general: por ejemplo, implica de forma tan inmediata que hay campos de característica $p$ y toda cardinalidad infinita, que es algo menos trivial. Y así sucesivamente...

Answer 5

Dejemos que $p$ sea un primo, $l > 1$ . La unión anidada $\cup_{i \in \mathbb{N}} K_i$ es otro ejemplo; donde $K_i$ es la única extensión de campo de $\mathbb{F}_p$ con $|K : F_p| = l^i$ .