Recuerde de los grupos y espacios vectoriales las nociones de "subgrupo" y de "subespacio": debe tener un subconjunto que también está "cerrado" con respecto a las operaciones. Es decir, si se toman elementos del subconjunto y los sometes a las operaciones que tienes, deberías acabar con resultados que también están en tu subconjunto.
Con los grupos, eso significa que si un subconjunto $S$ de un grupo $G$ va a ser un grupo, entonces debe darse el caso de que siempre que $s,t\in S$ entonces $st\in S$ ("cerrado bajo multiplicación"; si se toman dos cosas en $S$ y multiplicarlos, no es necesario ir "fuera de $S$ " para encontrar la respuesta, ya está todo dentro $S$ ; no es necesario salir al exterior); y si $s\in S$ entonces necesita $s^{-1}\in S$ ("cerrado bajo inversos"); y necesitas $e\in S$ (cerrado bajo la operación que da el elemento identidad).
En los espacios vectoriales, si un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ va a ser un subespacio, necesitas que $\mathbf{0}\in W$ (cerrado bajo la operación que da el elemento identidad); que si $w_1,w_1\in W$ entonces $w_1+w_2\in W$ (cerrado por adición de vectores); y que si $w\in W$ y $\alpha\in F$ entonces $\alpha w\in W$ (cerrado bajo multiplicación escalar).
Lo mismo ocurre con los anillos: si tienes un anillo $R$ entonces para que un subconjunto $S$ ser un subring es necesario que sea (i) cerrado por adición; (ii) cerrado por inversión aditiva; (iii) que contenga el elemento identidad de la suma; y (iv) cerrado por multiplicación (si $a,b\in S$ entonces $ab\in S$ ). Decir "es un subgrupo" es lo mismo que decir (i), (ii) y (iii).
Sin embargo, los ideales son algo más que simples subramas. Desempeñan en los anillos el mismo papel que los subgrupos normales en los grupos. Recordemos que un subgrupo normal $N$ de un grupo $G$ es un "subgrupo-con-algo-extra": no sólo es "cerrado" bajo las tres operaciones habituales del grupo (elemento identidad, suma e inversos), sino que también debe ser "cerrado" bajo un montón de otras operaciones (conjugación).
Lo mismo ocurre con los ideales: no sólo deben ser "cerrados" bajo las cuatro operaciones habituales del anillo (elemento aditivo de identidad, suma, inversos aditivos y multiplicación), sino que también deben ser "cerrados" bajo un montón de otras operaciones (que son como las multiplicaciones escalares en el caso del espacio vectorial): multiplicación a la izquierda por cualquier elemento de $R$ y la multiplicación por la derecha por cualquier elemento de $R$ . Igual que "subgrupo normal" es "subgrupo con algo extra", del mismo modo los ideales son "subrings con algo extra".
El problema de decir "un ideal es un subring que es cerrado bajo multiplicación izquierda y derecha" es que decir "cerrado bajo multiplicación izquierda y derecha" sólo dice que si $a,b\in I$ entonces $ab\in I$ ; realmente quieres añadir la coda de "...multiplicación por la izquierda y por la derecha...". por elementos del anillo. "
Los ejemplos abundan. Por ejemplo, $R=\mathbb{R}[x]$ los polinomios con coeficientes en los números reales, y considere $\mathbb{Z}[x]$ los polinomios con coeficientes enteros. Este último es un subgrupo de $R$ y si $p(x),q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ entonces el producto $p(x)q(x)$ también está en $\mathbb{Z}[x]$ . Así que $\mathbb{Z}[x]$ es un subring de $R$ . Sin embargo, no es un ideal de $R$ porque $x\in\mathbb{Z}[x]$ y $\pi\in R$ pero su producto $\pi x\notin\mathbb{Z}[x]$ .
O toma $S=\mathbb{R}[x^2]$ los polinomios con coeficientes reales en los que sólo las potencias pares de $x$ ocurrir. Se trata de un subring de $R$ pero no un ideal, porque $x^2 \in S$ , $x\in R$ pero $x(x^2)\notin S$ .
Por otro lado, $S=\{p(x)\in R\mid p(0)=0\}$ la colección de todos los polinomios con término constante igual a $0$ es a la vez un subring y un ideal: si $p(x)\in S$ y $q(x)\in R$ entonces $q(x)p(x)\in S$ desde $q(0)p(0)=0$ (y $p(x)q(x)=q(x)p(x)$ ). Es decir, $q(x)S\subseteq S$ y $Sq(x)\subseteq S$ .
