<blockquote>
<p>Prueba $$\int_0^{\pi/2} x\left({\sin nx\over \sin x}\right)^4\mathrm{d}x<{n^2\pi^2\over 8}.$ $</p>
</blockquote>
<p>¿Mi intento:\begin{align}
\int_0^{\pi/2} x\left({\sin nx\over \sin x}\right)^4\mathrm{d}x & =\sum_{k=1}^n \int_{{k-1\over 2n}\pi}^{{k\over 2n}\pi}x\left({\sin nx\over \sin x}\right)^4\mathrm{d}x\\
& \leq\sum_{k=1}^n \left({\pi\over 2}\right)^4 \int_{{k-1\over 2n}\pi}^{{k\over 2n}\pi}\left({\sin^4nx\over x^3}\right)\mathrm{d}x \quad (\text{use } \sin x\geq {2\over \pi}x ) \tag{1}\label{1}\\
&= \left({\pi\over 2}\right)^4 n^2\sum_{k=1}^n \int_{{k-1\over 2}\pi}^{{k\over 2}\pi}\left({\sin^4x\over x^3}\right)\mathrm{d}x \quad (\text{use } x\to {x\over n}).\\
\end {Alinee el} es mi dirección correcta? Si bien, cómo puedo demostrar el siguiente $$\sum_{k=1}^n \int_{{k-1\over 2}\pi}^{{k\over 2}\pi}\left({\sin^4x\over x^3}\right)\mathrm{d}x\leq\int_0^{+\infty}\left({\sin^4x\over x^3}\right)\mathrm{d}x \leq {2\over \pi^2}. $ $ utilizar Mathematica para calcular los porcentajes integrales $\int_0^{+\infty}\left({\sin^4x\over x^3}\right)\mathrm{d}x\simeq 0.7>{2\over\pi^2}$, por lo tanto mi proceso (\ref{1)} parece ser incorrecto.</p>
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El plazo $\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^4$ está asociado con la Jackson kernel.
Su desigualdad es de hecho sólo una variación menor en el Lema de 0,5 en las notas vinculadas, y puede ser demostrado a través de la misma técnica: expandir $|x|$ como un coseno de Fourier de la serie sobre $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, lo mismo para $\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^4$, después de aplicar ortogonalidad/la desigualdad de Bessel.
