Una desigualdad dura

Question

Dado que el $x,y,z$ son números reales positivos tales que $2x+4y+7z=2xyz$, encontrar el mínimo de $L=x+y+z$.

¿Alguien tiene una solución que es puramente algebraica? Yo sólo era capaz de resolver con multiplicadores de Lagrange.

También, ¿cómo se demuestra que la solución dada por multiplicadores de Lagrange es de hecho una solución global?

Nota: Mediante un cambio de variables, esto es equivalente a minimizar $$L=a+b+c-\frac{3}{2}$$ subject to $$2 a b c = a + 4 b + 2 a b + 7 c + a c - 9$$ donde $a>0,b>\frac{1}{2},c>1$.

$L$ se minimiza cuando se $a=b=c=3$$L=7.5$.

Fuente: https://brilliant.org/problems/another-weird-inequality/ (Yo no escribí esta pregunta)

Answer 1

Para$x=3$,$y=2.5$ y$z=2$ obtenemos el valor$7.5$.

Vamos a demostrar que es un valor mínimo.

De hecho, deje$x=3a$,$y=2.5b$ y$z=2c$.

Por lo tanto, la condición da$$3a+5b+7c=15abc$ $ y tenemos que demostrar que$$6a+5b+4c\geq15$ $ o$$(6a+5b+4c)^2(3a+5b+7c)\geq15^3abc,$ $ que es verdadero por AM-GM:$$(6a+5b+4c)^2(3a+5b+7c)\geq\left(15\sqrt[15]{a^6b^5c^4}\right)^2\cdot15\sqrt[15]{a^3b^5c^7}=15^3abc.$ $ ¡Hecho!

Answer 2

Express $x$: $$x = {4y+7z\over 2(yz-1)}$$ We get rational function in $s$ with parameter $z$: $$ L = {2y^2z+2yz^2+2y+5z\más 2(yz-1)}$$ Estamos buscando local mínimo $m$ $L$ (que es mayor, entonces máximo local). Por lo que la ecuación de $L=m$ debe tener exactamente una solución (en $z$)$y$, con lo que la discriminación $D_y$ de los: $$ 2y^2z+2y(z^2-mz+1)+5z+2m=0$$ debe ser $0$, por lo que (me salto algunos de cálculo aquí) $$m^2z^2-2mz(z^2+3)+(z^4-8z^2+1)=0$$ Si nos expres $m$ tenemos (nosotros elegimos el signo positivo (obviamente?)): $$m = {z^2+3+ \sqrt{(14z^2+8)}\over z}$$ Aquí no podía omitir la derivada (en realidad, yo podría, pero es molesto). Si se calcula que ver como obtenemos $z=2$ ... y $L ={15\over 2}$.