Grupo fundamental de la esfera Poincaré

Question

Hacer las dos presentaciones de abajo, $$G=\langle d,v \mid dv^2d=vdv, dv^3d=v^2 \rangle$$ and $$\langle r,s,t \mid r^2=s^3=t^5=rst \rangle = \langle s,t \mid (st)^2=s^3=t^5 \rangle,$$ definir el mismo grupo?

Motivación: estoy trabajando en Poincaré homología esfera $X$, construidos mediante la identificación de las caras opuestas de un dodecaedro utilizando el mínimo de giro de las agujas del reloj para alinear las caras. Pude comprobar que su homología de grupos son los mismos que la 3-esfera, y ahora me gustaría que para calcular el grupo fundamental. Utilizando el teorema de van Kampen, me encontré con la primera presentación de $\pi_1(X)$; sin embargo, yo no tuve éxito en la identificación con el binario icosaédrica grupo (con la esperanza de que me calcula correctamente el grupo fundamental), dada por la segunda presentación.

Nota Bene: el Uso de un software matemático, he comprobado que $G$ orden $120$.

Answer 1

La primera presentación que he encontrado, antes de simplificación, se $$ G= \langle d,v \mid vd^2vd^{-1}v^{-1}d^{-1}=1, dvd^{-1}vdv^{-1}=1 \rangle. \hspace{1cm} (\ast)$$

La escritura de la segunda relación como $dvd^{-1}=vd^{-1}v^{-1}$ $(1)$, la primera de ellas se convierte en $$1=vd(dvd^{-1})v^{-1}d^{-1} = vdvd^{-1}v^{-2}d^{-1}$$ hence $vdv=dv^{2}d$. Multiplying $(1)$ by $v$ on the left, $$v^2d^{-1}v^{-1}=(vdv)d^{-1}=(dv^2d)d^{-1}=dv^2$$ hence $dv^3d=v^2$, so one find the presentation of $G$ I gave in my question $$\langle v,d \mid dv^2d=vdv, dv^3d=v^2 \rangle.$$

El reordenamiento de las relaciones de $(\ast)$, obtenemos $$G= \langle d,v \mid d^{-1}v^{-1}d^{-1}v \cdot d^2v=1, v^{-1}dvd^{-1}vd=1 \rangle.$$

Si introducimos la segunda relación en el primero, donde el punto es, obtenemos $$1= d^{-1}v^{-1}d^{-1}v (v^{-1}dvd^{-1}vd ) d^2v= d^{-2}vd^3v=1,$$ so $$G= \langle d,v \mid d^{-2} vd^3v=1, v^{-1}dvd^{-1}vd=1 \rangle.$$

Establecimiento $v=da$, las relaciones se vuelven $$d^4=a^{-1}da^{-1} \ \text{and} \ a^2=d^{-1}ad^{-1};$$ setting $b=d^{-1}$, the relations become $$b^4=aba \ \text{and} \ a^2=bab.$$ Multiplying the fist relation by $b$ on the right, and the second relation by $un$ on the right, we finally get a presentation of the binary icosahedral group: $$G= \langle a,b \mid a^3=b^5=(ab)^2 \rangle.$$

El principal argumento en que se trata de Un Libro de texto de Toplogy, Seifert Y Threlfall, páginas 224-225.

Answer 2

La respuesta es sí. No tengo una prueba escrita, pero puede verificar el isomorfismo con el siguiente código GAP.

 F2 := FreeGroup("d", "v");;
G := F2 / [F2.d*F2.v^2*F2.d*(F2.v*F2.d*F2.v)^-1, F2.d*F2.v^3*F2.d*F2.v^-2];;

F3 := FreeGroup("r", "s", "t");;
H := F3 / [F3.r^2*F3.s^-3, F3.r^2 * F3.t^-5, F3.r^-2 * F3.r * F3.s * F3.t];;
 

Usando el comando GAP IdGroup o StructureDescription , puede verificar que tanto$G$ como$H$ sean isomorfos a$\operatorname{SmallGroup}(120,5)$ que es el icosahedral binario grupo.