Que $G$ denotan un grupo arbitrario. Demostrar: El centro de cualquier grupo $G$ es un subgrupo normal de $G$

Question

<blockquote> <p>Que $G$ denotan un grupo arbitrario. Demostrar: El centro de cualquier grupo $G$ es un subgrupo normal de $G$</p> </blockquote> <p>Que $G$ ser un grupo y $C$ el centro, es decir, para cualquier $a \in C$ y cualquier $x \in G$, $xa=ax$.</p> <p>Así, $a = xax^{-1}$. Así $xax^{-1} \in C$. Así, $C$ es normal.</p> <p>¿Es correcta esta prueba? Parecía demasiado trivial para que me lo creo.</p> <p>Algo me dice que necesito demostrar que para cualquier $y \in G$, $xax^{-1}y=yxax^{-1}$. ¿Esto sería correcto? Pero esto realmente sería el mismo que el anterior.</p>

Answer 1

Que $G$ ser un grupo y que $Z(G)$ ser el centro de $G$.

Si entonces, $x \in Z(G)$ $xy=yx$ $\ \forall y \in G$. Así $yxy^{-1}=x \in Z(G)$.

Así, $Z(G) \vartriangleleft G$.