¿Es un G-paquete de cada haz de fibras?

Question

Por la definición de un paquete de fibra de $F\hookrightarrow E\xrightarrow \pi B$ cada punto de $p\in B$ tiene una vecindad $U$ tal que existe una diffeomorphism (local banalización) $\phi: \pi^{-1} (U)\rightarrow U\times F$. Mirando local como banalizaciones través de la superposición de bloques abiertos $U_i$, $U_j$ se puede considerar el mapa $\phi_j\circ\phi_i^{-1}:U_i\cap U_j\times F\rightarrow U_i\cap U_j\times F$, $\phi_j\circ\phi_i^{-1}(x,u)=(x,t_{ji}(x,u))$, con $t_{ji}(x,\cdot):F\rightarrow F$ un diffeomorphism. De ello se desprende de las definiciones que la $t_{ij}(x,t_{ji}(x,u))=u$. De modo similar teniendo en cuenta el triple de intersecciones uno tiene $t_{ij} (x,t_{jk}(x,u))=t_{ik}(x,u)$.

Generalmente en la literatura un haz de fibras que se llama un $G$-bundle, o dice que tiene estructura de grupo $G$, si es que existe un grupo de $G$ tal que $t_{ij}(x,u)=\tau_{ij}(x)\cdot u$ $\tau_{ij}(x)\in G$ $\cdot$ denota una acción izquierda de $G$$F$.

Tome $G=\mathrm{Diff}(F)$, el grupo de diffeomorphisms de $F$, actuando en $u\in F$$(\phi,u)\in \mathrm{Diff}(F)\times F\mapsto \phi(u)$. Si $t_{ij}(x,u)=u^\prime$, definir $\tau_{ij}(x)=\phi$ donde $\phi$ es cualquier elemento de $\mathrm{Diff}(F)$ tal que $\phi(u)=u^\prime$. No da esto $F\hookrightarrow E\xrightarrow \pi B$ la estructura de una $G$-bundle? En otras palabras, no es cada haz de fibras de una $G$-bundle si me tome $G$ a ser el grupo de diffeomorphisms de la fibra?

Answer 1

1. No estoy seguro de que el uso de la terminología "$G$-bundle" es estándar: En la literatura sé que uno dice "director / a $G$-bundle" o "paquete con la estructura de grupo $G$", el último es a lo que te refieres por un $G$-bundle. Con esta salvedad, eso sí, en el buen categoría, cada paquete con fibra de $F$ $Diff(F)$- bundle. En la categoría topológica, es un $Homeo(F)$-bundle. Por ejemplo, cuando uno dice "un círculo paquete", esto normalmente significa "un bundle con el círculo de fibra" en lugar de "un paquete con la estructura de grupo $S^1$".

2. Addendum: Hay otra noción de $G$-bundle (diferente de la suya, pero estrechamente relacionados en el principal paquete de caso): Un paquete de $\pi: E\to B$ se llama un "$G$-bundle" si no existe una acción de $G$ $E$ por automorfismos: desplazamientos con $\pi$ en el sentido de que $\pi(g\cdot x)=\pi(x)$ por cada $x\in E, g\in G$. Una más complicado que la versión de esta definición exige $G$ a actuar en tanto $E$ $B$ $\pi$ $G$- equivariant. Parece claro que un general suave de paquete con los típicos $F$ no admitir una acción suave de $Diff(F)$ desplazamientos con $\pi$, por ejemplo, ya que esto requeriría dos desplazamientos de las acciones de $Diff(F)$$F$. Uno puede ver esto más claramente en el caso de cero dimensiones de las fibras (es decir, cuando se $\pi$ es una cubierta mapa). A continuación hay ejemplos al $F$ tiene más de 2 elementos y $\pi$ no tiene no trivial de automorfismos.

El caso excepcional de que sucede cuando $\pi$ es una de las principales $G$-bundle, entonces usted tiene dos desplazamientos de las acciones de $G$ sobre sí mismo, por la izquierda y a la derecha de la multiplicación (una acción, es una acción izquierda, el otro es un derecho de acción). A continuación, el paquete es un $G$-bundle en el sentido de que ambas definiciones discutidas en 1 y en 2.