Definición de cofinalidad

Question

Dejemos que $\alpha$ sea un ordinal límite. Definimos $\operatorname{cf}\alpha$ para ser el ordinal de menor límite $\beta$ de manera que haya un aumento de $\beta$ -secuencia $\langle \alpha_{\xi} \mid \xi < \beta\rangle$ con $\displaystyle\lim_{\xi \to \beta} \alpha_{\xi} = \alpha$ (Así lo define Jech).

Pero, ¿cómo definir la cofinalidad de un ordinal no limitado? Por ejemplo $\operatorname{cf}(4)$ o $\operatorname{cf}(\omega + 5)$ ? Esto surge en mi lectura con frecuencia y no estoy seguro de cómo abordarlo.

Muchas gracias.

Answer 1

El cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado $P$ se define como la menor cardinalidad de todos los conjuntos cofinales en $P$ .

Un conjunto $B \subset A$ se llama cofinal en $A$ si para cada $a \in A$ hay un $b \in B$ tal que $a \leq b$ .

Ahora aplicando esto a $4$ observamos que $\{ 3 \}$ es cofinal en $4$ y por lo tanto $\operatorname{cf}{(4)} = |\{ 3 \}| = 1$ .

Del mismo modo, observamos que el conjunto $\{ \omega + 4 \}$ es cofinal en $\omega + 5$ Por lo tanto $\operatorname{cf}{(\omega + 5)} = 1$ .

Obsérvese que cada ordinal sucesor tiene un $\in$ -elemento máximo y por lo tanto tiene cofinalidad $1$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

La definición general de cofinalidad sería $0$ si $\alpha=0$ ; $1$ si $\alpha=\beta+1$ y el caso límite que ya conoces.

Esto es realmente extender la definición del caso límite ya que lo que realmente nos importa es "cuánto tiempo" es el conjunto más corto que es ilimitado (nótese que cofinal y no limitado son la misma cosa aquí ya que este es un orden lineal). Si $\alpha=\beta+1$ entonces $\{\beta\}$ no tiene límites en $\alpha$ y tiene el tipo de orden $1$ .

La cuestión es que nosotros realmente no se preocupan por la cofinalidad de los ordinales sucesores. Nótese que si $\kappa$ tiene una cofinalidad incontable, entonces el conjunto de ordinales sucesores de $\kappa$ es no estacionaria, por lo que en realidad tiene muy poco juego a la hora de decirnos lo que ocurre al final.

Además, como la intersección de estacionario y club es estacionaria, siempre se puede intersecar su conjunto estacionario con el club de ordinales límite, por lo que se supone que no hay ordinales sucesores en sus consideraciones para empezar.

Answer 3

Tenga en cuenta que si $\alpha$ no es un ordinal límite, entonces hay ordinales determinados unívocamente $\lambda$ y $n$ tal que $\alpha=\lambda+n$ , donde $\lambda$ es un límite y $n<\omega$ . Así, se puede definir la cofinalidad de $\alpha$ para ser 1.

Sin embargo, este procedimiento es redundante, ya que la definición de cofinalidad puede extenderse fácilmente a subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados.