Si $(\pm x)^2 = X$ entonces $\sqrt{X} = x$ ?

Question

He estado ayudando a mis hermanos con sus matemáticas de GCSE y A Level y me he encontrado con una pregunta en la que acaban de sacar la raíz cuadrada positiva. Es una pregunta puramente matemática y no hay ninguna razón (obvia) para ignorar la raíz cuadrada negativa.

Siempre pensé que la raíz cuadrada siempre daba dos valores, uno positivo y otro negativo, y esto se muestra en la fórmula cuadrática donde tenemos $\pm \sqrt{b^2 - 4ac}$ .

¿Cuál es la respuesta correcta?

¿Hay que tomar siempre sólo lo positivo o también lo negativo?

Del mismo modo, si tenemos $\cos(\theta) = x$ ¿Por qué no decimos entonces $\theta = \pm \cos^{-1}(x)$ como $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ ¿no es así?

EDIT: Una pregunta quiere que calcule la normal de la curva $y^2 = 4ax$ donde $a$ es una constante positiva en el punto $(at^2, 2at)$ . Empiezan sacando la raíz cuadrada y escriben $y = \sqrt{4ax}$ .

En otra pregunta, quieren que calcule la tangente a la recta $y^2 = 27x$ en el punto $(3,9)$ . En este caso, también empiezan sacando la raíz cuadrada pero escriben $y = \pm \sqrt{27x}$ . ¿Por qué han tomado el positivo en uno y los dos en el otro?

Probablemente sería más fácil hacerlo utilizando la diferenciación implícita, pero quiero entender por qué la parte de la raíz cuadrada es diferente.

Answer 1

Siempre hay dos números que cuadran con un número dado. Por convención el símbolo $\sqrt{x}$ representa el positivo de los dos números que cuadran a $x$ . El otro número se da poniendo tú mismo el signo negativo: $-\sqrt{x}$ .

Por eso, cuando se manipulan ecuaciones siempre se pone un $\pm$ después de tomar una raíz cuadrada, porque no está seguro de si la solución que busca es la raíz positiva o negativa. Por eso también la fórmula, en general, es $\sqrt{x^2} = |x|$ , en lugar de $=x$ .

En cuanto a $\cos$ la función $\cos^{-1}$ siempre da valores entre $0$ y $\pi$ . Esto es de nuevo sólo una convención, para que el símbolo $\cos^{-1}(x)$ representa algo concreto. Si desea desplazar los valores por $2\pi$ o añadir un signo negativo para obtener otra solución a $x = \cos(\theta)$ entonces debería hacerlo usted mismo, pero $\cos^{-1}(x)$ sólo significa un de las infinitas soluciones posibles de esa ecuación, al igual que $\sqrt{a}$ sólo significa un de las dos posibles soluciones a $x^2 = a$ .

Answer 2

Depende. A veces hay una restricción implícita para la que sólo se quiere la respuesta positiva.