¿Intercambiando el orden de integración en$ \int_0^\infty \int_{-\infty}^\infty \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} dt dx$?

Question

Por contexto, esto proporciona una forma de evaluar la integral de seno de Fresnel en el infinito. El problema con el que me estoy metiendo es

$$ \int_0^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty \vert\sin(x^2)x e^{-t^2 x^2}\vert dt \right] dx$$ $$= \sqrt{\pi} \int_0^\infty \vert \sin(x^2) \vert dx$ $$$ = \infty,$ $

por lo que Fubini no se aplica. Sin embargo, ingenuamente cambiar el orden sí da el resultado correcto. ¿Hay una buena manera de justificar el intercambio de la orden?

Answer 1

Por Fubini, tenemos $$ \int_0^R \int_{-\infty}^\infty \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} \,dt\, dx = \int_{-\infty}^\infty \int_0^R \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} \,dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty f(R,t) \, dt$$ donde $$ f(R,t) = \int_0^R \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} \,dx = \frac{1-(\cos(R^2) + t^2 \sin(R^2))e^{-t^2 R^2}}{2(1+t^4)} .$$ (Esto se deduce de la integración por partes dos veces, y resolver la ecuación resultante.) Por lo tanto $$ |f(R,t)| \le \frac{2+t^2}{2(1+t^4)} ,$$ que es integrable. Por lo tanto, por el Lebesgue teorema de convergencia dominada, tenemos $$ \lim_{R\to \infty} \int_{-\infty}^\infty f(R,t) \, dt = \int_{-\infty}^\infty \lim_{R\to \infty} f(R,t) \, dt .$$ Por lo tanto $$ \int_0^\infty \int_{-\infty}^\infty \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} \,dt\, dx = \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty \sin(x^2)x e^{-t^2 x^2} \, dx \, dt$$