Esto puede ser adaptado para el vector de funciones con valores en un cierto sentido. En primer lugar, recordemos las definiciones de un punto crítico:
Un punto crítico de una función con valores escalares $\phi\colon\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ es un punto para el que $D\phi = 0$.
Un punto crítico para un vector de valores de la función $\Phi\colon\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}^l$ es un punto para el que $\mathrm{rank}(D\Phi) < \min(n,l)$.
Con esto en mente, podemos afirmar que el método de multiplicadores de Lagrange en ambos casos:
Un punto crítico de una función con valores escalares $g\colon \mathbb{R}^{n+k}\to\mathbb{R}$ restringido a la submanifold $F^{-1}(0)$ es un punto para el que $Dg + \lambda\,DF = 0$ por alguna función lineal $\lambda$ ($Dg$ es una combinación lineal de las filas de $DF$).
Un punto crítico para un vector de valores de la función $G\colon\mathbb{R}^{n+k}\to\mathbb{R}^l$ restringido a la submanifold $F^{-1}(0)$ es un punto para el que $\mathrm{rank}(\frac{DG}{DF}) < \min(n+k,l+k)$ donde $\frac{DG}{DF}$ indica el $(l+k)\times (n+k)$ matriz ampliada cuyo primer $l$ filas $DG$ y cuya restante $k$ filas $DF$.
Usted puede utilizar cualquier método que usted desea comprobar el rango de $\frac{DG}{DF}$. Por ejemplo, en el caso de que $n \geq l$ usted podría tratar de encontrar una solución no trivial para las ecuaciones
$$
\mu\,DG + \lambda\,DF = 0\qquad\text{y}\qquad F=0
$$
donde $\mu\colon \mathbb{R}^l\to\mathbb{R}$ $\lambda\colon \mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ son lineales, y "no trivial" significa que $\mu$ no es idéntica a cero. (Esto es equivalente a la comprobación de si las filas de $\frac{DG}{DF}$ son linealmente independientes).
Si $n \leq l$, usted debe comprobar las columnas en su lugar. Esto implica la búsqueda de soluciones no triviales a las ecuaciones
$$
DG\,\lambda = 0,\qquad DF\,\lambda = 0\qquad\text{y}\qquad F=0
$$
donde $\lambda\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n+k}$ es lineal, y "no trivial" significa que $\lambda$ no es idéntica a cero.
