Independencia de los axiomas en un sistema axiomático

Question

¿Cómo demostramos que estamos utilizando axiomas independientes en un sistema axiomático, es decir

1. $A\rightarrow (B \rightarrow A)$

2. $(A\rightarrow (B\rightarrow C)) \rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

3. $(\lnot A\rightarrow \lnot B)\rightarrow (B\rightarrow A)$

Creo que sé cómo demostrar que la tercera es independiente de las dos primeras, podemos tomar $\lnot \phi = \phi$ y entonces los dos primeros siguen siendo válidos pero el tercero no, pero no estoy seguro de cómo hacer esto para los otros axiomas.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Bien, aquí va,

Para demostrar que estos tres axiomas son independientes queremos construir una interpretación que demuestre que dos de los axiomas siguen siendo válidos pero el tercero no (como se dice en los comentarios). La primera de ellas sólo utilizará dos valores de verdad (T,F) y el resto utilizará tres (T,F,A).

Para demostrar que A3) es independiente de A1) y A2)

Este es el caso más sencillo, simplemente dejamos que nuestra interpretación de $\lnot\phi$ y $\phi$ sea el mismo. En este caso podemos ver que A3) ya no es válido, tomando $A=F$ y $B=T$ entonces esto ya no es válido pero A1) y A2) obviamente siguen siéndolo (no tienen una negación en ellos).

Para demostrar que A2) es independiente de A1) y A3)

$ \begin{array} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ \hline T & A & A \\ \hline T & F & F \\ \hline A & T & T \\ \hline A & A & T \\ \hline A & F & A \\ \hline F & T & T \\ \hline F & A & T \\ \hline F & F & T \\ \hline \end{array}$

$ \begin{array} \hline A & \lnot A \\ \hline T & F \\ \hline A & A \\ \hline F & T \\ \hline \end{array} $

Ahora podemos ver que bajo estas nuevas interpretaciones que A1) y A3) siguen siendo válidos pero A2) ya no es válido bajo esta nueva interpretación.

Demostrar que A1) es independiente de A2) y A3)

Utilizamos el mismo argumento que el anterior pero con la primera tabla ligeramente diferente:

$ \begin{array} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ \hline T & A & F \\ \hline T & F & F \\ \hline A & T & T \\ \hline A & A & T \\ \hline A & F & F \\ \hline F & T & T \\ \hline F & A & T \\ \hline F & F & T \\ \hline \end{array}$

$ \begin{array} \hline A & \lnot A \\ \hline T & F \\ \hline A & A \\ \hline F & T \\ \hline \end{array} $

Así que podemos ver que A1) es independiente de A2) y A3), ya que siguen siendo válidos aquí, pero A1) no lo es.

Ahora hemos demostrado que estos tres axiomas son independientes entre sí. (También debemos notar que el modus ponens se mantiene bajo estas dos nuevas interpretaciones)