Valor de la suma $\sum_{i=0}^n\binom{2n}{2i}(-3)^i$

Question

¿Cuál es el valor de la suma $\sum_{i=0}^n\binom{2n}{2i}(-3)^i$ ?

Parece que la expansión binomial $(1+x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i$ pero sólo tomamos uno de cada dos términos, y además la potencia es $(-3)^i$ no $(-3)^{2i}$ .

Answer 1

Ya casi lo tienes. Puedes utilizar estas dos funciones:

$$\frac{f(x) + f(-x)}{2} \tag{1}$$

y

$$(\sqrt{-3})^{2i} = (-3)^i \tag{2}$$

¿Puedes ver lo que (1) hace a los términos? Si no puedes, puedes intentar escribir los términos así:

$$f(x) = c_0 x^0 + c_1 x^1 + c_2 x^2 + \dots$$

Entonces encuentra lo que $f(-x)$ te da.