Probar$a_{n+2}=3a_n+2\sqrt{2a_n^2+2a_{n+1}^2}$ es un número entero

Question

Dada la secuencia$$a_1=a_2=1;\ a_ {n+2} = 3a_n + 2\sqrt{2a_n^2 + 2a_{n+1}^2}$ $, prueba que$a_n$ es un número entero para todos$n\in\mathbb N$.

Intento

Es suficiente para mostrar que$2a_n^2 + 2a_{n+1}^2$ es un cuadrado perfecto. Eso significa que es un cuadrado incluso perfecto y tan divisible por 4; por lo tanto$a_n^2+a_{n+1}^2=2k^2$ para un entero entero$k$. Creo que puedo resolver esta ecuación diofántica, pero no puedo relacionar la solución con el problema original. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$a_{n+2}\ =\ 3a_n+2\sqrt{2a_n^2+2a_{n+1}^2}$

$\implies\ \left(a_{n+2}-3a_n\right)^2\ =\ 8a_n^2+8a_{n+1}^2$

$\implies\ a_n^2-6a_{n+2}a_n-8a_{n+1}^2+a_{n+2}^2=0$

Trate esto como una ecuación cuadrática en$a_n$. El discriminante es

$\Delta_n\ =\ 36a_{n+2}^2+32a_{n+1}^2-4a_{n+2}^2 = 4\left(8a_{n+1}^2+8a_{n+2}^2\right)$

Así

$a_n\ =\ \dfrac{6a_{n+2}-\sqrt{\Delta}}2\ (\because a_n<a_{n+2})$

$=\ 3a_{n+2}-2\sqrt{2a_{n+1}^2+2a_{n+2}^2}$

$\implies\ -a_n+3a_{n+1}+3_{a_n+2}\ =\ 3a_{n+1}+2\sqrt{2a_{n+1}^2+2a_{n+2}^2}=a_{n+3}$

Como$a_1=a_2=1$ y$a_3=7$ son números enteros,$a_4$ es un número entero; por inducción$a_n\in\mathbb Z$ para todos$n\in\mathbb N$.

Answer 2

Dejar $b_n=\sqrt{2a_n^2+2a_{n+1}^2}$. Muestre que$$b_{n+1}=3b_n+4a_{n}.$ $

Answer 3

Tenemos:

$$a_{n+2}-3a_n=2\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2}\Rightarrow (a_{n+2}-3a_n)^2=(2\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2})^2\Rightarrow\ {a_{n+2}}^2-6ana{n+2}+9a_n^2=8an^2+8{a{n+1}}^2\Rightarrow {a{n+2}}^2+{a{n+1}}^2=-a_n^2+6ana{n+2}+9{a{n+1}}^2\Rightarrow \{a{n+2}}^2+{a_{n+1}}^2=-a_n^2+6a_n(3a_n+2\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2})+9{a{n+1}}^2\Rightarrow\ {a{n+2}}^2+{a_{n+1}}^2=17an^2+9{a{n+1}}^2+12a_n\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2}\Rightarrow\ 2({a{n+2}}^2+{a{n+1}}^2)={(4a_n)}^2+\left(3\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2}\right)^2+2\cdot (4a_n)\cdot \left(3\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2}\right)\Rightarrow\ 2({a{n+2}}^2+{a{n+1}}^2)=\left(4a_n+3\sqrt{2an^2+2{a{n+1}}^2}\right)^2\ (1)$ $ Ahora a probar el reclamo con la inducción.

Se trata de unos cálculos para verificar que $a_3$ y $a_4$ son números enteros.

Ahora suponemos que $an$ es un entero para cada $4\leq n\leq k$. Entonces obtenemos inmediatamente que $\sqrt{2{a{k-2}}^2+2{a_{k-1}}^2}$ es un número entero como la diferencia del % enteros $ak$y $3a{k-2}$. De $(1)$ sigue que $\sqrt{2{a_{k-1}}^2+2{a_k}^2}$ es un entero.

Por lo tanto $a{k+1}=3a{k-1}+\sqrt{2{a_{k-1}}^2+2{a_k}^2}\in \mathbb Z$ como una suma de enteros y la prueba inductiva es completa. Así hemos terminado.

Answer 4

Se Jagy es justo ... primer puerto de escala ... calcular el primer par de valores $a_3=7$,$a_4=23$,$a_5=89$,$a_6=329$,$a_7=1231$.... Yo escribí un pequeño proyecto de c# a por mí. Ahora google secuencias de enteros y vaya a "On Line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros". Poner los valores de $1,1,7,23,89,319,1231,$ & éxito de la búsqueda ... bingo ... es la secuencia de 217233, la Expansión de $(1-2x+x^2)/(1-3x-3x^2+x^3)$. Así, ahora sabemos la solución ... sólo tenemos que demostrarlo ... el denominador da el equivalente de la recurrencia de la relación $a_{n+3}=3a_{n+2}+3a_{n+1}-a_n$, el numerador es dictada por las condiciones iniciales ... todavía hay mucho trabajo por hacer para completar esta respuesta, pero esto le da un buen comienzo.