Deje $G$ ser un grupo, $H<G$ a un subgrupo y $g$ un elemento de $G$. Deje $\lambda_g$ denotar el interior automorphism que los mapas de $x$$gxg^{-1}$. Me pregunto si $H$ puede ser asignado a un adecuado subgrupo de la misma, es decir,$\lambda_g(H)\subset H$.
Traté de enfocar este problema topológicamente. Ya que cada grupo es el grupo fundamental de la conexión de un CW-complejo de dimensión 2, deje $(X,x_0)$ ser un espacio para $G$. Desde $X$ es (localmente) trayectoria-conectado y semi-localmente simplemente conectados, existe un (a nivel local) ruta de acceso conectado a cubrir el espacio $(\widetilde X,\widetilde x_0)$, de tal manera que $p_*(\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_0))=H$. El elemento $g$ corresponde a $[\gamma]\in\pi_1(X,x_0))$, y su sustentación en $\widetilde x_0$ es un camino que termina en $\widetilde x_1$. Por hipótesis, $H\subseteq g^{-1}Hg$, lo que conduce a la existencia de un único ascensor $f:\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_0)\to\pi_1(\widetilde X,\widetilde x_1)$ tal que $p=p\circ f$. Este ascensor se convierte en un surjective cubriendo mapa de sí mismo, y es un homeomorphism iff $H=g^{-1}Hg$.
No tuve éxito en la demostración de la inyectividad. Si $x_1$ $x_2$ tienen la misma imagen en $f$, luego $x_1$, $x_2$, y $f(x_1)=f(x_2)$ están todos en la misma fibra. Tomé $\lambda$ a ser un camino de$x_1$$x_2$. He estado jugando con $\lambda$, $p\lambda$, y $f\lambda$, pero no consiguió nada.
Por supuesto, también podría ser un directo la prueba de álgebra. Por otro lado, si la afirmación no es verdadera, entonces tal vez alguien sabe de un contraejemplo.
