Las normas son equivalentes si se mantiene un lado de la mano de la desigualdad

Question

Deje $(X,\|.\|_1)$ $(X,\|.\|_2)$ son espacios de Banach y $\forall x \in X$. Mostrar que si $\|.\|_1 \le k \|.\|_2 $ $\exists k \gt 0$ $\|.\|_1$ $ \|.\|_2 $ son equivalentes.

Yo sólo podía pensar en belows

$(x_n)$ es arbitraria Secuencia de Cauchy en $X$ y ya es de Banach wrt $ \|.\|_2 $ $\exists x \in X$ tal que

$\|x_n-x\|_2 \lt \varepsilon /k$

De inequeality tenemos

$\|x_n-x\|_1 \le k\|x_n-x\|_2 \lt \varepsilon$ por lo tanto $x_n \to x$ wrt $\|.\|_1$ norma.

No puedo seguir y creo que hay algunos errores y deficiencias mi writtens arriba.

Voy a ser apreciado por cualquier ayuda

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He utilizado una versión de Banach Teorema de Isomorfismo gracias a sus comentarios :

Deje $I:(X,\|.\|_2) \to (X,\|.\|_1)$ mapa de identidad. Es (1-1) y en.

$\|I(x)\|_1 = \|x\|_1 \le k\|x\|_1 $ $I$ es limitado y, equivalentemente, continua.

Por Banach Teorema de Isomorfismo es un homeomorphism por lo tanto $I^{-1}$ es continua y, equivalentemente, acotada.

Podemos encontrar $\exists c \gt 0$ tal que

$\|I^{-1}(x)\|_2 = \|x\|_2 \le c\|x\|_1 $

Finalmente llegamos a las normas son equivalentes

Podría usted por favor, compruebe?

Answer 1

Solo necesita probar que$id: (X,\lVert \bullet\rVert_2)\to (X,\lVert \bullet\rVert_1)$ es continuo. En otras palabras, según el teorema del gráfico cerrado, el conjunto$\Delta^2_1:=\{(x,x)\,:\, x\in X\}$ es un subconjunto cerrado del espacio de Banach$(X\times X,\lVert \bullet\rVert_{1\otimes 2})$, donde$\lVert (x_1,x_2)\rVert_{1\otimes 2}=\lVert x_1\rVert_1+\lVert x_2\rVert_2$. Este es el caso si y solo si el espacio normado$(\Delta^2_1,\lVert \bullet\rVert_{1\otimes 2})$ es un espacio de Banach.

El hecho de que$id': (X,\lVert \bullet\rVert_1)\to (X,\lVert \bullet\rVert_2)$ sea continuo te da que$(\Delta^1_2,\lVert \bullet\rVert_{2\otimes 1})$ es un espacio de Banach. Pero el mapa tautológico$\Delta^1_2\ni (x,x)\mapsto (x,x)\in\Delta^2_1$ es una isometría biyectiva. Por lo tanto,$\Delta_1^2$ es Banach también.