Números semiprimos que, junto con sus factores primos, generan muchos semiprimas por concatenación

Question

Hay algo bastante interesante en el número $1191$ :

• este número es un semiprima ( $1191= 3 \cdot 397$ ),
• la concatenación de sus factores primos en cualquier orden son semiprimas ( $3397$ y $3973$ son semiprimas), pero no sólo eso,
• si concatena $1191$ y sus factores primos $3$ y $397$ en cualquier orden, el resultado es siempre un semiprimo ( es decir $11913397$ , $11913973$ , $31191397$ , $39711913$ , $33971191$ y $39731191$ son todos semiprimas).

Yo llamo a estos números semiprima hasta los huesos o STB.

Definiciones: Dejemos que $s = p \cdot q$ sea un semiprimo.

• Llamo $s$ un Número STB si estas 8 concatenaciones siguientes son todas semiprimas: $p \mathop{^\smallfrown} q$ , $q \mathop{^\smallfrown} p$ , $s \mathop{^\smallfrown} p \mathop{^\smallfrown} q$ , $s \mathop{^\smallfrown} q \mathop{^\smallfrown} p$ , $p \mathop{^\smallfrown} s \mathop{^\smallfrown} q$ , $q \mathop{^\smallfrown} s \mathop{^\smallfrown} p$ , $p \mathop{^\smallfrown} q \mathop{^\smallfrown} s$ , $q \mathop{^\smallfrown} p \mathop{^\smallfrown} s$ , donde $a \mathop{^\smallfrown} b$ es el número cuya representación decimal es la representación decimal de $a$ seguido por el de $b$ ( es decir concatenación).

• Llamo $s$ a bonito número de STB si es un número STB cuya inversión también es semiprima.

• Llamo $s$ a número de super STB si es un número STB y los siguientes son también semiprimas: $s \mathop{^\smallfrown} p$ , $s \mathop{^\smallfrown} q$ , $p \mathop{^\smallfrown} s$ , $q \mathop{^\smallfrown} s$ .

He buscado números hasta $3000$ , pero el único número de STB que he encontrado es $1191$ .

Preguntas:

1. ¿Puedes encontrar un ejemplo más grande de los números de STB (o números de STB agradables).
2. ¿Existen los números super STB?

Answer 1

Te has perdido una buena, $9$ que también resulta ser lo que se llama un "número de super STB". El siguiente es efectivamente $1191$ . Con sólo un poco más de su impresionante paciencia, podría haber llegado hasta $3497$ que es el siguiente. Después no hay ninguno hasta $10000$ . Aquí está el código.

P.D.: Como querías un "super número STB" sin cuadrado, he quitado el pre-cálculo de primos para que pueda llegar a números más grandes -- no encuentra más "super números STB", pero aquí están los siguientes "números STB":

• $9$ , $1191$ , $3497$ , $28267$ , $50191$ , $60693$ , $65049$ , $92823$ , $98759$ , $212523$ , $241419$ , $243611$ , $256693$ , $281949$ , $292683$ , $324699$ , $368587$ , $383831$ , $403891$ , $460783$ , $497923$ , $538413$ , $560523$ , $572569$ , $670733$ , $798061$ , $850233$ , $858597$ , $878079$ , $904079$ , $984909$ , $1091823$ , $1097371$ , $1128381$ , $1160889$ , $1201631$ , $1337861$ , $1352527$ , $1436857$ , $1492233$ , $1554421$ , $1605007$ , $1724303$ , $1787353$ , $1796917$ , $1904907$ , $1980571$ , $2002393$ , $2502017$ , $2508981$ , $2533809$ .

Es bueno que uno de ellos, $1352527$ es bastante similar al número que aparece en la URL de esta pregunta, $1357327$ :-) Aquí está el nuevo código.

P.D: Accidentalmente dejé el programa en marcha, así que podría daros el resultado :-)

• $9^*$ , $1191$ , $3497$ , $28267$ , $50191$ , $60693$ , $65049$ , $92823$ , $98759$ , $212523$ , $241419$ , $243611$ , $256693$ , $281949$ , $292683$ , $324699$ , $368587$ , $383831$ , $403891$ , $460783$ , $497923$ , $538413$ , $560523$ , $572569$ , $670733$ , $798061$ , $850233$ , $858597$ , $878079$ , $904079$ , $984909$ , $1091823$ , $1097371$ , $1128381$ , $1160889$ , $1201631$ , $1337861$ , $1352527$ , $1436857$ , $1492233$ , $1554421$ , $1605007$ , $1724303$ , $1787353$ , $1796917$ , $1904907$ , $1980571$ , $2002393$ , $2502017$ , $2508981$ , $2533809$ , $2631211$ , $2676763$ , $3231581$ , $3295259$ , $3415701$ , $3460633$ , $3511867$ , $3534319$ , $3537017$ , $3544993$ , $3606951$ , $3704257$ , $3743511$ , $4034281$ , $4223281$ , $4338599$ , $4471643$ , $4490169$ , $4900039$ , $5041083$ , $5143289$ , $5278933$ , $5361301$ , $5457649$ , $5488633$ , $5537143$ , $5580537$ , $6194077$ , $6245753$ , $6317041$ , $6352233$ , $6386857$ , $6416587$ , $6518283$ , $6544743$ , $6876867$ , $6916179$ , $6959059$ , $6963317$ , $7017181$ , $7099041$ , $7099499$ , $7111821$ , $7188393$ , $7237221$ , $7419589$ , $7445963$ , $7473563$ , $7520519$ , $7646719$ , $7774019$ , $7775133$ , $7801449$ , $7842377$ , $7847481$ , $8344171$ , $8472817$ , $8519701$ , $8629539$ , $8649169$ , $8778453$ , $8880303$ , $8904191$ , $9124159$ , $9235793$ , $9304651$ , $9413697$ , $9470443$ , $9596253$ , $9601181$ , $9683533$ , $10013413$ , $10122031$ , $10218503$ , $10228737$ , $10275819$ , $10508923$ , $10546027$ , $10571393$ , $10706149$ , $10983659$ , $11135127$ , $11409817$ , $11413603$ , $11840187$ , $11984761$ , $12250457$ , $12291113$ , $12707009$ , $12864441$ , $12869607$ , $12887569$ , $13285843$ , $13427363$ , $13593939$ , $13612357$ , $13616731$ , $13749113$ , $13840457$ , $13856361$ , $13929567$ , $13971561$ , $14068167$ , $14160849$ , $14415355$ , $14541711$ , $14665947$ , $14675741$ , $14682667$ , $14721403$ , $15237173$ , $15247189$ , $15278659$ , $15978491$ , $16068153$ , $16188623$ , $16253429$ , $16475807$ , $16817781$ , $17137013$ , $17200849$ , $17220387$ , $17257609$ , $17269721$ , $17355643$ , $17472831$ , $17521697$ , $18325497$ , $18454411$ , $18717729$ , $18987211$ , $19021153$ , $19197173$ , $19346707$ , $19369257$ , $19457853$ , $19649451$ , $19930767$ , $20232971$ , $20237883$ , $20549301$ , $20783589$ , $20795353$ , $21245551$ , $21288091$ , $21342259$ , $21370831$ , $21377323$ , $21378759$ , $21508671$ , $21525769$ , $21692599$ , $21694081$ , $21718173$ , $21777757$ , $21785019$ , $21858701$ , $21933339$ , $22366471$ , $22508801$ , $23102593$ , $23223363$ , $23256039$ , $23261671$ , $23535079$ , $23588601$ , $23660751$ , $23726167$ , $23741449$ , $23863611$ , $24043623$ , $25212583$ , $25227681$ , $25956257$ , $26055613$ , $26093989$ , $26564001$ , $26713171$ , $26824867$ , $27000019$ , $27219883$ , $27639139$ , $27722639$ , $27929599$ , $28087531$ , $28222149$ , $28419969$ , $28639041$ , $28935393$ , $29055037$ , $29678497$ , $29721687$ , $29738893$ , $30287487$ , $30702939$ , $30945919$ , $31125587$ , $31376841$ , $31495791$ , $31503481$ , $31513211$ , $31620629$ , $31767303$ , $32120399$ , $32141469$ , $32266537$ , $32281377$ , $32545351$ , $32905833$ , $32970279$ , $32999519$ , $33412559$ , $33550297$ , $34020253$ , $34262203$ , $34773663$ , $34890133$ , $35436679$ , $35493779$ , $35536589$ , $35683259$ , $36177457$ , $36376707$ , $36449013$ , $36548923$ , $36607723$ , $36742477$ , $36825589$ , $37072597$ , $37420797$ , $37677859$ , $37800393$ , $38008799$ , $38030773$ , $38319139$ , $38400697$ , $38552677$ , $38689303$ , $38722053$ , $39021271$ , $39048419$ , $39291227$ , $39296051$ , $39558039$ , $39678463$ , $39685453$ , $39870669$ , $40036901$ , $40508027$ , $40578033$ , $40606631$ , $41187439$ , $41212153$ , $41733863$ , $41877861$ , $42094451$ , $42139753$ , $42178573$ , $42401609$ , $43090741$ , $43237633$ , $43337713$ , $43474017$ , $44476527$ , $44922211$ , $44973391$ , $45307347$ , $45721821$ , $45812239$ , $45849463$ , $46510131$ , $46676083$ , $46784181$ , $46816351$ , $46825437$ , $47199921$ , $47440119$ , $48135067$ , $48136157$ , $48877183$ , $49291493$ , $49293211$ , $49460729$ , $49580227$ , $49782961$ , $49912117$ , $50373701$ , $50476351$ , $50902987$ , $50988633$ , $51400743$ , $51523909$ , $51873643$ , $52026787$ , $52337713$ , $52517931$ , $52835011$ , $52873773$ , $52874979$ , $52962817$ , $52997281$ , $53999097$ , $54370977$ , $54635397$ , $55059789$ , $55735993$ , $55980659$ , $56234401$ , $56403967$ , $56436697$ , $56533543$ , $56853373$ , $56979277$ , $57012043$ , $57065371$ , $57166367$ , $57338329$ , $57667693$ , $57990099$ .

El asterisco corresponde a un "número de super STB", por lo que desgraciadamente ya no hay más, pero sí muchos "números de STB".

Answer 2

Aquí quiero demostrar que no hay números pares STB, aquí está la prueba: Sea S un semiprimo par ( $S= A\times2$ ), es muy evidente que el último dígito de $A$ es $1, 3, 7,$ o $9$ (con $10= 5\times2$ como caso excepcional), por lo que la concatenación de $A$ y $2$ se verán como estos: $\_\_\_ 12$ o $\_\_\_32$ o $\_\_\_72$ o $\_\_\_92$ podemos ver que estos cuatro números son todos divisibles por $4$ por lo que la concatenación de $A$ y $2$ nunca será un semiprimo!. Así que he completado la prueba de que no hay números pares de STB. Y sí quiero añadir que si $p= q$ entonces lo llamaré como números "débiles" de STB o números "débiles" de super STB.

Answer 3

Primero quiero decirles (lo he verificado) que la conclusión de Jerry Jan es absolutamente cierta, y este número STB 560523= 3* 186841 es casi/cerca de un número super STB (!!). este número STB 560523 ha satisfecho 10 condiciones de esas 12 condiciones requeridas (!). Y he investigado más sobre ello, y finalmente tengo un método fuerte / bueno para encontrar el tipo 1 números super STB, así que simplemente siga estos 2 pasos simples: (Dejemos que S= 3*N sea un número STB, y todos los puntos aquí significan concatenación),

Paso 1: Encontrar un número STB S= 3*N, tal que tanto S.3 como 3.S sean semiprimas ("no imposible en absoluto").

Paso 2: Encontrar un primo reversible ("un Emirp") de la forma 10000...00003, y dejar que 10000...00003 sea X, y su reverso 30000...00001 sea Y (Necesitamos que tanto X como Y sean números primos)

Si S.N= N Y y N.S= N X, entonces S es un número (tipo 1) de super STB!. ¡INFORMACION ADICIONAL: Si seguimos ese método/pasos, entonces el siguiente número super STB de tipo 1 después del 9 tendrá más de 660000 dígitos ! (Lo digo en serio). El número STB 28222149 está MUY CERCA de ser un número super STB (!!), 28222149 ha cumplido 11 condiciones de las 12 requeridas. Y hay MUCHOS casos en los que el número de dígitos de 30000...00001 es uno menos que el número de dígitos de su inverso 10000...00003, y después de calcular algunas cosas juntas, concluyo que hay más del 90% de posibilidades de que el próximo (tipo 1) número super STB tenga EXACTAMENTE 11 dígitos.

Answer 4

Quiero darle una información valiosa, hice algunas observaciones sobre los números super STB, y concluyo que sólo hay dos tipos de números super STB:

(Sea S=M*N un número súper STB), el primer tipo son los números súper STB que son divisibles por 3 (es decir, S=3*N), que es Joriki o Bernard ha encontrado uno de ellos (9=3*3, muy trivial y débil ?).

El segundo tipo son los números super STB que no son divisibles por 3 pero con S+M+N divisibles por 3, ¿sabes lo que significa? Significa que necesitamos que todas estas seis concatenaciones S.M.N, S.N.M, M.S.N, N.S.M, M.N.S, y N.M.S sean todas semiprimas de la forma 3c, sí necesitamos seis semiprimas de la forma 3c, La razón es esta:

S= M*N, DEBEMOS evitar que S+M o S+N sean divisibles por 3, ya que si uno de ellos (S+M o S+N) es divisible por 3, entonces S.M o S.N tendrán más de dos factores primos ( recuerda que 9= 3*3 es un número de tipo 1 super STB). Los puntos significan aquí la concatenación.

Muy bien amigos, así que revisen esos y encontrarán el primer número no trivial de super STB. :D