Propiedad de la normal de coordenadas

Question

Deje $M$ ser una de Riemann colector y $\nabla$ la de Levi-Civita conexión. Tengo que probar el siguiente.

Deje $B$ ser una bola abierta de radio $r$ $T_pM$ tal que $\left.exp_p\right|_B$ ser un diffeomorphism sobre $U\subset M$ y deje $\{u_1,...,u_n\}$ ser un ortonormales base de $T_pM$.

Deje $F:T_pM\supset B\rightarrow U\subset M$$F(x_1,...,x_n)=exp_p(x_1u_1+\cdots+x_nu_n)$. Claramente, $(U,F^{-1})$ es un gráfico. Mostrar que

$$\left(\nabla_{X_j}X_i\right)_p=0$$

donde $X_i:=\dfrac{\partial }{\partial x_i}$.

Answer 1

Por la definición de sus coordenadas, $X_i$ es tangente a una línea geodésica a través de$p$$\left(\nabla_{X_i}X_i\right)_{p}=0$. Para el cruzado términos que usamos la polarización truco

$0=\left(\nabla_{X_i+X_j}X_i+X_j\right)_{p}=\left(\nabla_{X_i}X_{i}\right)_{p}+2\left(\nabla_{X_i}X_j\right)_{p}+\left(\nabla_{X_j}X_j\right)_{p}$.

Como un lado, estos son los llamados geodésica normal coordenadas y son realmente útiles para llevar a cabo los cálculos en la geometría de Riemann.

Answer 2

Yo no veo cómo el mapa de $F$ era necesario. De todos modos, para demostrar que $(\nabla_{X_j}X_i) = 0$, puede utilizar la identidad de $$2\langle\nabla_{X}de {Y, Z\rangle = X\langle Y, Z\rangle + Y\langle Z, X\rangle - Z\langle X, Y\rangle + \langle[X, Y], Z\rangle + \langle[Z, X], S\rangle - \langle[Y, Z], X\rangle $$ Ahora, ¿cuál es $[X_i, X_j]$ en este caso?

Edit: una sugerencia: usted debe tomar una mirada en el Lema de Gauss, mientras que usted está en él :)