Cuáles son las ramas de las matemáticas hacen uso frecuente de polinómica de la división?

Question

Yo estoy revisando de álgebra básica, ahora, como parte de un examen de matemáticas. Me licencié en matemáticas (licenciatura), y estoy sorprendido de lo familiarizado que yo estoy con el polinomio de la división larga. Estoy seguro de que he hecho en algún momento en el pasado, aunque tal vez no desde la secundaria. Si llegara a todos en mis clases en la universidad, no fue suficientemente frecuentes como para que me recuerde.

De todos modos, yo me quedo preguntando cómo a menudo se trata y en qué contexto. Cuando aparece como una herramienta útil más allá de la resolución de problemas? No me cabe duda de que lo hace, yo sólo soy curioso donde.

Answer 1

La teoría de polinómica división es muy relevante en la construcción de extensiones algebraicas de los campos, a pesar de que usted no necesita realmente larga dividir polinomios, solo entender cómo funciona.

Answer 2

Uno de los casos donde polinómica división de la muestra en el estudio de las Funciones de Transferencia. Usted encontrará este si usted toma cualquiera de las Señales y los Sistemas, el Procesamiento de la Señal o de la Teoría de Control curso.

Además, polinómica de la división se encuentra computacional de geometría algebraica, y en particular en el contexto de Hilbert de la serie de la computación.

Answer 3

Polinómica de la división se utiliza en el error de control de la codificación de la teoría y la práctica. Quizás el uso más común es para la detección de errores a través de la comprobación de redundancia cíclica (CRC) métodos. Los datos que se transmiten como paquetes en Internet es seguido por una $32$-bit suma de control se llama una suma de comprobación CRC. La verificación de la suma de los bits se eligen de manera que toda la secuencia de bits transmitidos, que puede ser pensado como un polinomio con coeficientes en el campo $\mathbb F_2$, es un múltiplo de la CRC polinomio de grado $32$. El receptor comprueba si el recibido de la secuencia de bits es de hecho un polinomio divisible por el polinomio CRC mediante la realización de un polinomio la división larga. Si el resto es cero, la parte de datos es aceptado. Si el resto es distinto de cero, se descartarán los datos y una re-transmisión de el paquete solicitado.

Para la integridad voy a decir que en el transmisor, la suma de control CRC bits también se encuentran haciendo un polinomio de la división larga. Más los detalles se pueden encontrar aquí. Si la gente tener ideas de cómo estos omnipresentes cálculos se pueden acelerar, muchos ingenieros estarán encantados de saber de usted.

Answer 4

En mi caso creo que principalmente se acercó al integrar funciones racionales, que fue un tema central en el 2º semestre de cálculo. En menor medida, integración de funciones racionales también ocurrió en los cursos de primaria (ordinario) ecuaciones diferenciales, ingeniería de separación de variables PDE cursos, "matemáticas avanzadas para ingeniería" cursos, etc. Creo que puede tener divide polinomios en un complejo de variables curso así.

Sin embargo, por mucho, el más de uso que hice de la división de polinomios fue cuando ayudan a sus amigos con menor nivel de matemáticas (gratis), tutoría de estudiantes en el bajo nivel de matemáticas (para pagar), y la enseñanza de nivel inferior de las clases de matemáticas. De hecho, con la excepción de un año en la década de 1980 (cuando me enseñó aritmética y la geometría en la escuela secundaria), yo creo que puede haber enseñado la división larga (o al menos fuertemente valorado por los estudiantes) en al menos una clase de cada semestre durante más de 20 años de docencia . . .

Answer 5

Así que fuera de la moderna álgebra y uno o dos otros exóticos campos que no tiene ninguna utilidad, como fracciones parciales con el grado del numerador >= grado del denominador pueden ser tratados por otras más simples y más generales de los métodos. Es hora de que fue expulsado de la escuela en el currículo de matemáticas. He aquí un ejemplo:

$(x^3 + 3x^2 + 2x +1)/(x^2 - 4x + 5)$ Es OBVIO que un intento de escribir esto como $(Ax + B)/(x^2-4x+5)$ requiere una lineales parte, se $Cx + D$. Así que reescribir $Cx + D + (Ax + B)/(x^2-4x+5)$$({\rm something})/(x^2-4x+5)$, y 4 ecuaciones lineales aparecen, en $A, B, C$$D$. Sólo lo que es necesario para que coincida con el original numerador. Tratar con factores lineales $(x - 5)(x - 1)$ en el denominador lugar. Usted todavía necesita la $Cx + D$, y todavía es bastante obvio. Huelga decir que el $Cx + D$ es el cociente de la división de polinomios!