El área bajo la tangente a una curva.

Question

La recta tangente a la gráfica de la función $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=a$ de las formas con la línea de $x$-eje un ángulo de $\frac{\pi}{6}$ y en el punto de abscisa $x=b$ un ángulo de $\frac{\pi}{4}$, y luego encontrar el valor de

$$\int _a^b f^{'}(x)f^{''}(x) \, \mathrm{d}x$$

Mi intento: Yo lo hice de la siguiente sustitución:

deje $ f^{'}(x)=t$.

$f^{''}(x) \, \mathrm{d}x=\mathrm{d}t$

$$I=\int _a^b t \, \mathrm{d}t=\frac{t^2}{2}=\frac{(f^{'}(x))^2}{2}=\frac{(f^{'}(b))^2}{2}-\frac{(f^{'}(a))^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1\over3}{2}=\frac{1}{3}.$$

Pero la respuesta según el texto es $-1$.

¿De dónde me salen mal?

Answer 1

La solución es ACEPTAR.

Mi (más torpe) de la solución, sólo para reforzar el tuyo, es como sigue

Podemos enfoque integral

$$\int_a^bf'(x)f''(x)\ dx$$ a través de la integración por partes. El mnemónico es que $\int u'v=uv-\int uv'. $ Deje $u'=f''$ y deje $v=f'$. A continuación,$u=f'$$v'=f''$. Así

$$\int_a^b f'(x)f''(x) dx=\left[(f'(x))^2 \right]_a^b-\int_a^bf'(x)f''(x)\ dx.$$

Es decir,

$$\int_a^bf'(x)f''(x)dx=\frac12\left[(f'(x))^2\right]_a^b.$$

Sabemos que $f'(a)=\tan\left(\frac{\pi}6\right)=\frac1{\sqrt3}$ y $f'(b)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$.

Finalmente llegamos

$$\int_a^bf'(x)f''(x)dx=\frac12\left(\tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)= \frac12\left(1-\frac13\right)=\frac13\not =-1.$$