La intuición física real de la línea de frente de un físico "hyperreal línea"

Question

Como una estructura matemática, yo no tengo ningún problema con el hyperreals. Pero me encontré con el siguiente de Keisler del libro "Elementales de Cálculo: Un Infinitesimal de Enfoque".

"No tenemos ninguna manera de saber lo que una línea en el espacio físico es realmente como. Podría ser como la verdadera línea, la línea real, o ninguno. Sin embargo, en las aplicaciones del cálculo, es útil imaginar un la línea en el espacio físico como una verdadera línea."

Llegamos real número de respuestas a los problemas físicos en la distancia, a partir de los enteros para trascendental números. Sin embargo, nunca llegamos a obtener un número distinto de cero $w$ s.t. $w \lt 1/k, \forall k \in \mathbb N$ proveniente de un físico de cálculo, teórica o aplicada. No es esto lo que hace que las distancias físicas real y no hyperreal? Es realmente posible que nuestro espacio nunca fue (localmente) Euclidiana en todo este tiempo? ¿Dónde están estos infinitesmals y por qué están ocultando?

En segundo lugar, decimos que la recta real, por la construcción de la cumplimentación de los racionales, "no tiene agujeros". Sin embargo, los reales son un adecuado subcampo de la hyperreals. Donde estas infinitesmals "ajuste" en la línea real para hacer una verdadera línea cuando no hay espacio para ellas? En otras palabras, si comenzamos suponiendo física de un segmento de línea es una verdadera segmento de línea y, a continuación, (matemáticamente) quitar todos los infinitesmals, obtenemos un hyperreal segmento de línea con "agujeros" en la forma de falta hyperreal puntos, pero esto sólo le da un verdadero segmento de línea, que no tiene agujeros. No parece haber problemas en el supuesto de líneas físicas que pueden ser hyperreal líneas.

Answer 1

La afirmación de que $\Bbb R$ 'no tiene agujeros' es un informal paráfrasis de la matemática precisa declaración de que $\langle\Bbb R,\le\rangle$ es un completo orden lineal. En otras palabras, cada no-vacía $A\subseteq\Bbb R$ que está delimitado por encima tiene al menos un límite superior en $\Bbb R$. Esto de ninguna manera nos impide empujones nuevos elementos en $\Bbb R$. Por ejemplo, puedo tomar algún objeto $p\notin\Bbb R$, vamos a $X=\Bbb R\cup\{p\}$, y definir un orden lineal $\preceq$ $X$ $x\preceq y$ fib

• $x,y\in\Bbb R$ $x\le y$ , o
• $x\in\Bbb R$, $y=p$ y $x\le 0$, o
• $x=p$, $y\in\Bbb R$, y $y>0$, o
• $x=y=p$.

Este, en efecto, inserta $p$ $0$ y todos los reales positivos. Las diversas construcciones de la hyperreals hacer algo similar, pero a gran escala, que rodea a cada número real con un "cojín" de infinitesimalmente diferentes hyperreals, y por otra parte la adición de todo galaxias infinitas hyperreals en ambos extremos de la línea. Esto es muy diferente de llenar los agujeros existentes, que es lo que hacemos cuando complete los racionales para formar los reales.

Answer 2

Cuando se dice que la línea no tiene agujeros, uno debe ser preciso acerca de lo que se quiere decir. He aquí una manera de ver las cosas, tal vez la más sencilla: Supongamos que dividen la recta real en dos no vacía de subconjuntos de a$A$$B$, de tal forma que cada número real se encuentra en uno o el otro de ellos, y cada número en $A$ es estrictamente menor que el número de todos en $B$. A continuación, debe haber un límite: un número $c$ de tal forma que cada número a menos de $c$ $A$ y cada número de más de $c$$B$. El número de $c$ sí podría ser en cualquiera de los dos conjuntos.

Esto se opone a una situación como esta: consideremos el conjunto de todos los no-cero de los números reales. Se puede dividir en dos subconjuntos, es decir, los números negativos $A$ y los números positivos $B$, de tal manera que todos los no-cero número real es en uno u otro de aquellos, y cada número distinto de cero en $A$ es estrictamente menor que el número de todos en $B$. Pero si usted toma cualquier número negativo $x$, usted puede encontrar un mayor número negativo, por ejemplo,$x/2$, y para cualquier número positivo $x$, existe un menor número positivo $x/2$. Así que no es negativo o positivo en el número de $c$ puede servir como un límite, por lo que cada número a menos de $c$ es negativo y cada número mayor que $c$ es positivo.

Incluso si no sabemos que los números irracionales existen, se puede demostrar que para todo número racional cuyo cuadrado es menor que $2$, hay un mayor número racional cuyo cuadrado es menor que $2$, y para cada número racional cuyo cuadrado es más que $2$, existe un menor número racional cuyo cuadrado es más que $2$. Así el conjunto de todos los números racionales tiene un agujero, y de hecho tiene muchos agujeros.

El hyperreals también tienen agujeros. Por ejemplo supongamos $A$ ser la unión del conjunto de todos los no-positivo hyperreals (incluyendo $0$) y el conjunto de todos los positivos infinitesimal hyperreals, y deje $B$ ser el complemento de ese conjunto. No hay hyperreal $c$ que puede servir como un límite. Uno puede ver que la siguiente manera. Si $c\in B$,$c/2$, siendo menor que $c$,$A$, pero eso significaría que la mitad de un no-infinitesimal número positivo es infinitesimal, de modo que no puede trabajar. Pero si $c\in A$,$2c$, siendo mayor que $c$,$B$, por lo tanto no infinitesimal. Pero, de nuevo, la mitad de los que no infinitesimal número $2c$ sería infinitesimal, y que no puede trabajar.

Si crees que falta una verdadera significa un agujero en los reales, considere esto: el conjunto de todos los números enteros no tiene agujeros. Un montón de reales que faltan, pero que no crea agujeros en el sentido definido anteriormente. Para ver esto, considere los dos conjuntos de $A=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$$B=\{4,5,6,\ldots\}$. Cualquiera de las $3$ o $4$ puede servir como un límite, como se define anteriormente, ya que cada número a menos de $3$ o menos de $4$ $A$ y cada número mayor que $3$ o mayor que $4$$B$. Y todas las otras formas de dividir el conjunto en dos que cumplan los requisitos anteriormente también se obtiene un límite. Así que no hay agujeros.

Answer 3

El más simple intuición para "hyperreal línea" es que se ve exactamente como el estándar de la línea real.

Ya que usted viene de una física fondo, este "funcional" enfoque puede apelar mucho a usted.

No es el "primer orden lenguaje de la real de la aritmética". Este lenguaje nos permite hablar acerca de cosas como la adición o multiplicación de números reales. Para hablar acerca de si un número es mayor que otro. Preguntar si podemos encontrar soluciones de una ecuación.

Si tenemos una línea real, es evidente que existe una manera de interpretar este lenguaje como pidiendo hablar acerca de los números reales. Si queremos interpretar la pregunta "dados dos puntos cualesquiera, hay otro punto que hay entre ellos?", la respuesta es sí.

Para la comparación, hay una manera obvia de interpretar este lenguaje como hablar acerca de los números enteros. La respuesta a la pregunta anterior sería "no".

Resulta que cada una de las preguntas que usted puede pedir en este idioma tiene exactamente la misma respuesta cuando le pregunte acerca de una línea real frente al preguntar acerca de una verdadera línea.

No hay ningún "observables" de la diferencia entre la recta real y la verdadera línea, si sólo podemos "observar" haciendo de primer orden real de la aritmética.

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Podemos generalizar este. Se podría utilizar la más expresiva "de primer orden lenguaje de análisis real", lo cual es suficiente para expresar todas las matemáticas que suelen estudiar. Esto nos permite hablar acerca de cosas como intervalos, la geometría Euclidiana, series de Taylor, espacios de Hilbert, la mecánica de Lagrange, y así sucesivamente.

El mismo fenómeno se manifiesta en este idioma también: tenemos el "modelo estándar" de análisis real, donde se definen todo en las "habituales", y también "no-estándar de los modelos de análisis real.

Y una vez más, cada pregunta que se puede hacer uso de la de primer orden lenguaje de análisis real tiene exactamente la misma respuesta cuando se le preguntó del modelo estándar y cuando se le preguntó de cualquier no-modelo estándar.

por ejemplo, si utilizamos el lenguaje de análisis real para hablar de la mecánica Newtoniana, y diseñamos un experimento y pedir "teóricamente, cuál debería ser el resultado experimental?", la respuesta sería la misma si nos preguntamos sobre un modelo estándar o no estándar del modelo. No hay ningún experimento físico que podemos diseñar para determinar si vivimos en el "mundo real" o el "hyperreal mundo"!

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La utilidad de la no-estándar de análisis proviene de la decisión de trabajar con el modelo estándar y no estándar del modelo al mismo tiempo. Ya que son físicamente indistinguibles', podemos usar el que sea más conveniente en el momento.

por ejemplo, es a menudo conveniente suponer un problema, es sobre el modelo estándar, pero luego de tomar los objetos estándar y los transferirá a la no-estándar en el modelo, de modo que podamos hacer uso de cosas como infinitesimals, o que el no-modelo estándar ha enteros que se considera un ser finito, pero resultan ser más grande que el estándar entero.

Answer 4

Respondiendo a tu primera pregunta acerca de la intuición física de la verdadera línea. En los cálculos utilizando los números de tomar la parte estándar de los resultados para volver a un número real. En términos de la física se puede comparar esto con todos los cálculos con las partículas subatómicas como los quarks, que no puede ser observado de manera individual, pero podemos ver los efectos de su existencia en el nivel atómico.

Tal vez pensando en el infinitesimals como análoga a la del doblado dimensiones adicionales que son compactified en la teoría de cuerdas para volver a regular 4 D espacio de tiempo sería de ayuda. Así que la eliminación de ellos, no dejar huecos en la línea real porque no son parte de la línea real - se trata de una construcción más allá de ella.

Así como la eliminación de los números irracionales de la línea real no lleva a alguna "falta" de los números racionales en el racional de la línea, por lo que la eliminación de infinitesimals de la hiper-real de la línea de no conducir a la pérdida de los números reales.

Answer 5

Imagine una pequeña 'nube', en lugar de cada punto de la costumbre real de la línea, de modo que cuando se hace zoom en un punto de $x\in\Bbb R$, finalmente puedes encontrar todo un mundo de $x+\varepsilon$'s donde: $|\varepsilon|$ 'infinitesimal'.
Entonces, imagínese el recíproco de la infinitesimals en la nube en $0$: estos números muy grandes en valor absoluto, más grande que todo número natural, por lo que debe ser colocado en un esquema de imagen a la derecha (a la izquierda) de la original de la línea real.