(NO es una física de la pregunta) Es el campo eléctrico siempre asymptopic a $x^{\alpha}$ para algunos racional $\alpha$?

Question

En el espacio tridimensional con origen $O$, tendrá que seleccionar un número finito de puntos de $P_1, P_2, \cdots, P_n$. Para cada punto de $P_i$ asigna un número entero distinto de cero (positivo o negativo) $q_i$. Para todos los otros puntos $R$ en el avión, definir el vector de valores de la función $$\displaystyle \vec{F(R)} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_i}{D(P_i, R)^2} \vec{r_i}, $$ where $D(P_i, R)$ is the Euclidean distance between $P_i, R$, and $r_i$ is a vector of unit magnitude directed from $P_i$ to $R$. Now you pick a ray $\vec{\ell}$ originating from $O$ en cualquier dirección.

Es cierto que para cualquier configuración de dichos puntos, no siempre existe un racional número $\alpha$ tal que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \| F(R_x) \| x^{\alpha}$ converge a algunos distinto de cero constante, donde $R_x \in \ell$ $D(O, R_x) = x$ $\| F(R_x) \|$ es la magnitud de la función en $R_x?$

Answer 1

No. Lugar positivo de la unidad de cargos en $(\pm 1,0,0)$ y negativo de la unidad de cargos en $(0,\pm 1,0)$. El campo es cero en toda la $z$-eje.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial, pero tal vez se va a inspirar a alguien. Intuitivamente, las siguientes consideraciones me llevan a pensar que siempre existe una adecuada $\alpha$ del valor.

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Voy a denota el producto escalar con $\langle\ .\ ,\ .\ \rangle$. $$ \left(\left\| \vec{F(R_x)} \right\| x^\alpha\right)^2 = \left\langle \vec{F(R_x)},\vec{F(R_x)}\right\rangle x^{2\alpha} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{q_iq_j}{\left\|P_i-R_x\right\|^2 \left\|P_j-R_x\right\|^2} \left\langle \vec{r_i^x},\vec{r_j^x} \right\rangle x^{2\alpha} $$ Ahora, para simplificar esta expresión un poco, supongamos que su rayo $\vec\ell$ positivo $x$-eje. Si no es así, solo tienes que girar todo el espacio, o lo que es equivalente a construir un sistema de coordenadas con $\vec\ell$ positivo $x$-eje. Deje $(x_i,y_i)$ ser las coordenadas Cartesianas del punto de $P_i$, y $(\rho_i,\theta_i)$ sus coordenadas polares. Para cualquier $i$, usted tiene $\left\| P_i-R_x \right\|^2 = \rho_i^2 + x^2 -2x\rho_i\cos\theta_i = x^2 -2xx_i+\rho_i^2$. Además, vamos a $\varphi_{ij}^x$ ser el ángulo entre $\vec{r_i^x}$ $\vec{r_j^x}$ . Se puede expresar que el ángulo de forma explícita en términos de $x$, $\rho_i$, $\theta_i$, $\rho_j$ y $\theta_j$, pero esto no importa mucho aquí, ya que el ángulo va a $0$ $x$ va al infinito. De todos modos, a continuación, obtener: $$ \left(\left\| \vec{F(R_x)} \right\| x^\alpha\right)^2 =\sum_{i,j=1}^n\frac{x^{2\alpha}q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x }{x^4-2x^3(x_i+x_j)+x^2(\rho_i^2+\rho_j^2+4x_ix_j)-2x(\rho_ix_j+\rho_jx_i)+\rho_i^2\rho_j^2} $$ Desde allí se puede usar algo que creo que los ingleses llaman una expansión de Taylor (no en inglés, así que no estoy seguro), y obtener un polinomio de expresión como la que es muy fácil de manipular. Nunca me gustó esta como un estudiante y yo todavía no se como esta ahora, así que sólo voy a hacer un segundo pedido de expansión. En concreto, sabemos que $$ \frac{1}{1+X} = 1-X +X^2 +o(X^2) $$ así \begin{align*} &\left( \left\| \vec{F(R_x)} \right\| x^\alpha \right)^2\\ &=\sum_{i,j=1}^n \frac{x^{2\alpha}q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x} {x^4\left( 1-2\frac{x_i+x_j}{x}+\frac{\rho_i^2+\rho_j^2+4x_ix_j}{x^2} +o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right)}\\ &=\sum_{i,j=1}^n \frac{x^{2\alpha}q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x}{x^4}\\ &\qquad\times \Bigg\{1- \left(-2\frac{x_i+x_j}{x}+\frac{\rho_i^2+\rho_j^2+4x_ix_j}{x^2}\right)\\ &\qquad\qquad+\left(-2\frac{x_i+x_j}{x}+\frac{\rho_i^2+\rho_j^2+4x_ix_j}{x^2}\right)^2 +o\left(\frac{1}{x^2}\right) \Bigg\}\\ &=\sum_{i,j=1}^n \frac{x^{2\alpha}q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x}{x^4} \left( 1+2\frac{x_i+x_j}{x}-\frac{\rho_i^2+\rho_j^2+4x_ix_j}{x^2} +4\frac{\left( x_i+x_j\right)^2}{x^2} +o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right)\\ &=\left( \sum_{i,j=1}^n q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x \right)x^{2\alpha-4} +2\left( \sum_{i,j=1}^n q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x\left(x_i+x_j\right) \right)x^{2\alpha-5}\\ &\qquad+\left( \sum_{i,j=1}^n q_iq_j\cos\varphi_{ij}^x\left(3x_i^2-y_i^2+3x_j^2-y_j^2+4x_ix_j\right) \right)x^{2\alpha-6} +o\left(x^{2\alpha-6}\right) \end{align*} Suponiendo que usted puede tratar la expresión anterior como un polinomio en $x$ (que normalmente no debería, puesto que el $\varphi_{ij}^x$ depende de $x$), fácilmente se puede estudiar el comportamiento de esta expresión como $x$$+\infty$.

Al $\sum_{i,j=1}^nq_iq_j=\left(\sum_{i=1}^nq_i\right)^2$ es distinto de cero, el polinomio es dominado por el $x^{2\alpha-4}$ plazo, por lo que debe tener $\alpha=2$ tener convergencia. Y desde $\sum_{i=1}^nq_i$ es distinto de cero, el límite también será distinto de cero. Este es el caso de los cubiertos por El Enigma de la respuesta.

Cuando la suma de las cargas es nulo, usted tiene que mirar en el próximo mandato $x^{2\alpha-5}\sum_{i,j=1}^nq_iq_j(x_i+x_j)$. Si $\sum_{i,j=1}^nq_iq_j(x_i+x_j)$ es distinto de cero, usted necesita $\alpha=5/2$. Si es cero, se tiene que buscar en el siguiente plazo, etc.

Si vas a hacer una gran expansión suficiente, usted puede, en teoría, encontrando más y más condiciones que el cargo de distribución tienen que respetar, y que te obliga a mirar más y más términos en la expansión. Con toda probabilidad, llegará un punto donde es imposible para que sus puntos simultáneamente satisfacer cada una de estas condiciones, lo que significa que usted siempre puede encontrar algo de valor para$\alpha$, de modo que el límite de converge y es distinto de cero. El límite sería igual al coeficiente de en frente de la principal término del polinomio, que tendría que ser distinto de cero, y $\alpha$ sería, de hecho, ser racional.

Si tiene la mala suerte, el problema de la estructura es tal que no siempre existe una configuración de cargas y puntos para la que cada término será de cero. En ese caso, no hay ningún valor de $\alpha$ que satisfacen sus condiciones.

Answer 3

La mayoría de los generales de respuesta que puedo dar es el siguiente:

El potencial eléctrico en un punto de $\vec{R}$ debido a $n$ punto de cargos, de tal manera que $||\vec{R}|| \ge r_{max}$ donde $r_{max}$ es el más lejano que cualquier punto de carga se encuentra lejos del origen, está dada por Wikipedia como sigue:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion#Spherical_form

Esto se llama un multipolo expansión del potencial eléctrico. Esencialmente, el potencial eléctrico se aproxima como la combinación de un monopolo de la contribución, de un dipolo de la contribución, de un cuadrupolo contribución, un octupole contribución, y así sucesivamente. La fórmula tiene la siguiente forma:

$$V(\vec{R})=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{C_{2^{i-1}}}{r^i}=\frac{C_1}{r}+\frac{C_2}{r^2}+\frac{C_4}{r^3}+\frac{C_8}{r^4}+...$$

donde $C_1$ es una constante que representa el monopolio de la contribución, $C_2$ es una constante que representa el dipolo contribución, $C_4$ es una constante que representa el cuadrupolo contribución, $C_8$ es una constante que representa la octupole contribución, y así sucesivamente. Ahora, hablando estrictamente, estas no son constantes, ya que dependen de la posición angular del punto de $\vec{R}$ esféricas en coordenadas (en términos de$\theta$$\phi$). Sin embargo, dado que en el problema a $\vec{R}$ está restringido a mentir en un solo rayo de ello se sigue que $\theta$ $\phi$ son constantes, por lo $C_1,C_2,C_4,C_8,...$ son todos constantes así.

Por lo tanto, las tres dimensiones del problema se reduce a una dimensión del problema, con $r$ como la única variable independiente. Por lo tanto, $V(\vec{R})=V(r)$. Ahora, fundamentalmente, en el límite de $r$$\infty$, la función de $V(r)$ reduce a la potencia más grande de $r$ con un coeficiente distinto de cero. Por ejemplo, si $C_1$ es distinto de cero entonces, en el límite, $V(r)={C_1}/{r}$.

Ahora voy estado, sin pruebas, el siguiente principio: si desea $C_{2^{i-1}}$ a ser cero, entonces usted necesita $n\ge2^i$. Por ejemplo, para deshacerse de el monopolo contribución $C_1$ necesitas tener al menos $2$ de los cargos, para deshacerse del dipolo contribución $C_2$ necesitas tener al menos $4$ de los cargos, para deshacerse de la cuadrupolo contribución $C_4$ necesitas tener al menos $8$ de los cargos, y así sucesivamente. Dicho de otra manera, si $n<2^i$ $C_{2^{i-1}}$ está garantizado para ser distinto de cero.

Supongamos que $\beta$ es el menor entero positivo que satisface la condición de $\beta>\log_2n$. Entonces, por el argumento anterior, $V(r)$ es al menos de orden $1/r^{\beta}$. Más específicamente, $V(r)$ puede ser de orden $1/r$ o $1/r^2$ o $1/r^3$, todo el camino hacia abajo a $1/r^{\beta}$. Desde $||\vec{F}||=\frac{d}{dr} V(r)$ se sigue que $||\vec{F}||$ puede ser de orden $1/r^2$ o $1/r^3$ o $1/r^4$, todo el camino hacia abajo a $1/r^{\beta+1}$.

De ello se desprende que $\alpha$ es igual a $2$ o $3$ o $4$, todo el camino hasta el $\beta+1$, que es un número finito de enteros positivos. Así que, para cualquier conjunto finito de $n$ cargas puntuales situadas en distintas posiciones de la respuesta a su pregunta es sí, siempre existe un racional $\alpha$ tal que $\lim_{x\to \infty}||\vec{F}||r^{\alpha}$ es la constante distinto de cero $C_{2^{\alpha-2}}$.

Answer 4

Lejos de cualquier localizada distribución de cargas puntuales el valor de $||F(R_x)||$ caerá como $1/x^2$, por lo que usted desee $\alpha=2.$ En particular:

$$\lim_{x\to \infty}||F(R_x)||x^2=\sum_{i=1}^nq_i$$