Encontrar una condición de la(s) izquierda inversa de una altura de la matriz que lo hace único.

Question

Deje $A$ ser una gran matriz, $n\times m$$n>m$. Supongamos que tiene rango completo. Es un hecho que $A$ tendrá infinidad de izquierda inversos. Me gustaría saber si hay interesantes condiciones que se pueden imponer a $B$ la hacen única.

Por ejemplo, la condición de que $AB$ ser simétrica parece bastante fuerte, y es, al menos, satisfechos por la pseudo-inversa. Hace esto, de hecho, completamente determinar $B$? No he sido capaz de encontrar un contraejemplo.

Yo también estoy interesado en otras ideas interesantes a lo largo de estas líneas, aunque esto es más abierta y menos bien definidos, una pregunta.

Answer 1

El uso de la descomposición SVD de las matrices se puede ver que $N_s=0$ debe ser verdadera para que la simetría es verdadera: $$A=U\begin{pmatrix}\Sigma\\0\end{pmatrix}V^T$$

$$B=V\begin{pmatrix}\Sigma^{-1} & N_s\end{pmatrix}U^T$$ $$BA = I$$ $$AB=U\begin{pmatrix}I& \Sigma N_s \\ 0 & 0 \end{pmatrix}U^T$$ $$(AB)^\top=U\begin{pmatrix}I& 0 \\ N_s^\top \Sigma & 0 \end{pmatrix}U^T$$ El siguiente es otro camino para ver. Deje $N\ne 0$$NA = 0$, de modo que $N$ está en el espacio nulo de a $A$. A continuación, $(B + N)A = BA + 0= I$ y $$A(B+N) = AB + AN$$ Desde $AB$ es simétrica, sólo la simetría de $AN$ debe ser inspeccionado. Comparar a su transpuesta $N^\top A^\top$. Ellos deben ser iguales para que la simetría es cierto.

$$N^\top A^\top \overset{?}{=} AN$$ Si ambos están a la izquierda multiplica con $N$:

$$NN^\top A^\top \overset{?}{=} 0$$

Desde $NN^\top \ne 0$ (a menos que estamos tratando con números complejos), a continuación, $NN^\top$ tendría que ser la columna null espacio de $A$ para que esto sea cierto (el nulo espacio fila de a $A^\top$). Esto se contradice con que $A$ total útil.

Answer 2

Deje $C=B-A^+$ (el símbolo $A^+$ medios de Moore-Penrose pseudoinverse de $A$; por lo tanto $CA=0$). Para hacer la izquierda inverso $B$ único medio para fijar la elección de $C$ por cada $A$.

Una condición que corrige esta opción es simplemente la selección de $C=0$. Esto es equivalente a la condición de que $AB$ es real simétrica (o Hermitian en el caso complejo). De hecho, si $A=U\begin{pmatrix}\Sigma\\0\end{pmatrix}V^T$ es una descomposición de valor singular de a $A$, luego a la izquierda los inversos de las $A$ puede ser escrita en la forma de $B=V(\Sigma^{-1},R)U^T$ (aquí se $C=V(0,R)U^T$). Si $AB$ es simétrica, $R$ debe ser cero y, por tanto,$B=A^+$.

Ya que cada función $f:M_{n\times m}(\mathbb{R})\to M_{m\times n}(\mathbb{R})$ que satisface $f(A)A=0$ da lugar a la izquierda de la función inversa $B=A^++f(A)$, la condición anterior no es la única condición que se puede imponer. Sin embargo, aparte de la función cero, no sé alguna forma más sencilla de especificar de manera explícita $f$ (especialmente cuando se $A$ ha repetido valores singulares).