Una gran confusión en la "Polinomio Teorema del Resto"?

Question

Últimamente he estado leyendo sobre Polinomio Teorema del Resto a partir de diversas fuentes, principalmente de la wikipedea artículo, este post y algunos de alta los libros de la escuela. Wikipedea dice que si queremos dividir un polinomio $f(x)$ con otro polinomio $g(x)$

$$f(x)=q(x)g(x) + r(x)\quad \text{and}\quad r(x) =0 \; \text{or}\; \deg(r)<\deg(g)\ \tag{1}$$

• ¿Por qué es la expresión de la $q(x)$ el mismo para todos los valores de $x$? E. g. supongamos $f(x) = x^3 - 12x^2 - 42$ $g(x) = x-3$ $q(x)$ podría ser de la forma $q(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2} \cdots$ . Por la razón que sea la siguiente relación es verdadera,

  $$f(x) = x^3 - 12x^2 - 42 = (x-3)(x^2+15x)+3$$ He aquí por qué es $a=1$, $b=15$, $c=0$ y $n=2$ siempre la verdad, independientemente de los valores de $x$?

• ¿Por qué es $\deg(r)$ siempre a menos de $\deg(q)$? Como yo sé que las cosas son equivalentes a los habituales de Euclides de la división, $|r(x)|<|g(x)|$. Ahora podría ser que para cualquier polinomio $r(x)$ a ser menos que otro polinomio $g(x)$, $r(x)'s$ el grado tiene que ser menor que la de $(g(x)'s$ -, pero no sé por qué, es esto cierto o cómo puedo demostrarlo.

• Cuál es la lógica detrás de la división larga? ¿Por qué seguimos teniendo el recordatorio en cada paso? E. g. mientras dividiendo $x^3 - 12x^2 - 42$ $(x-3)$ ¿por qué en el primer paso cociente es $x^2$, ¿por qué no $x$, ¿por qué elegir siempre el valor máximo posible?

Esto fue alrededor de las confusiones relacionadas con la definición. Se dice que en la ecuación de $1$ si $g(x)=(x-a)$$f(a)=r$, debido a $$f(x)=q(x)(x-a) + r \tag{2}$$

Pero, ¿por qué es la ecuación de $2$ cierto para $x=a$? Aquí $g(a)=0$, por lo que no podemos realizar la división de Euclides sobre $f(x)$. Además, la expresión para la ecuación de $2$ $g(x)$ $0$ debe ser algo como
$$f(x)=0 q(x)+f(x)$$ Que es el recordatorio de que debe ser $f(x)$ sí. La mayoría de las respuestas sobre la pregunta similar a decir que realmente no estemos dividiendo por $0$, estamos improvisando una expresión algebraica de la identidad de la especie, $f(x)=(x-a)q(x)+r$. Estoy de acuerdo en que si en realidad se multiplican $(x-a)$ $q(x)$ y, a continuación, agregue $r$ a a observar que la identidad tiene, a continuación,$f(a)=r$, pero lo que realmente hacemos es Euclides división para averiguar $q(x)$, lo que no podemos hacer porque no se puede dividir con $0$. Pero entonces no entiendo por qué el valor de $q(x)$ encontrado con Euclides división bajo la condición de $x\neq a$ es el mismo que el valor que se encuentra por ensayo y error, por el hecho de multiplicar con adivinado valores de$q(x)$$x-a$.

Otra respuesta se dice que la ecuación de $2$ es cierto para $x=a$ debido a que la siguiente relación se mantiene,

$$\begin{eqnarray} f'(a) &=\,& \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\Bigg|_{\large\, x\,=\,a}\\ \\ {\rm i.e.}\ \ \ f'(a) &=\,& q(a)\ \ {\rm where}\ \ f(x)-f(a) = q(x)(x-a)\end{eqnarray}$$

Como yo sé que él/ella está utilizando el Maan Teorema del Valor sustituyendo $x$ $b$ en el estándar de la ecuación,

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

Donde $x,c \to a$, pero no podemos asumir la $x=c=b$. Así que la ecuación (1) puede ser true para $x \to a$, pero no por $x=a$.

Answer 1

Primera viñeta:

Este importante teorema es acerca de polinomios, no funciones generales, por lo que sólo implica polinomios. Un polinomio es, por definición, una suma de coeficientes constantes tiempos con una potencia entera de la variable. Así, la expresión de $q(x)$ no depende de $x$ simplemente porque el teorema está buscando un polinomio, es un "diseño" de la elección.

Los polinomios de seguir aritmética de las leyes que las conservan: la suma, diferencia y producto de dos polinomios es también un polinomio. El cociente de dos polinomios no es un polinomio, en general.

Segunda viñeta:

Simplemente no se puede comparar polinomios como $p(x)<q(x)$, ya que el resultado de la comparación podría depender de $x$. Por otro lado, usted puede comparar los grados de los polinomios.

El Teorema del Resto, de hecho, intenta imitar el algoritmo de Euclides y encontrar el más mínimo posible de residuos. Resulta que el más pequeño residuo del polinomio puede ser siempre de grado inferior a la del divisor ($\deg(r)<\deg(g)$).

La razón es fácil de entender: si el residuo es de grado $g$ o más, es posible cancelar su líder término al restar el divisor multiplicado por el monomio. En otras palabras, si el residuo tiene un grado $g$ o más, se puede disminuir su grado, y repetir hasta que el grado se ha convertido en menos de $g$.

Por ejemplo, suponiendo que un residuo $x^3-12x^2-42$ y un divisor $x^2-3$, podemos restar $x$ veces $x^2-3$, es decir,$x^3-3x$, y obtener el residuo $-12x^2+3x-42$. La operación puede repetirse una vez y lo llevará a un primer grado del polinomio.

Tercera viñeta:

La razón de ser del teorema del resto, es que se quiere encontrar cómo muchas "veces" el divisor puede ser encontrado en el dividendo. Este "tiempo" es, de hecho, otro polinomio, y usted está tratando de factor el dividendo como $f(x)=q(x)g(x)$; en general esto no es posible, hay un resto $r(x)=f(x)-q(x)g(x)$, pero quiere hacerlo tan pequeño como sea posible.

El procedimiento de obras por la construcción del polinomio cociente $q(x)$ término por término, desde el más alto hasta el más bajo grado. Cada vez que se agrega un término, se obtiene un pequeño residuo, hasta llegar a la más pequeña posible de residuos.

El paso básico ya ha sido evocado más arriba: tome $r(x)$, y restar el divisor multiplicado por el monomio que va a cancelar su líder plazo. Esto produce otro residuo $r'(x)$ de menor grado. Repita hasta que esto no es más posible.

Comentarios finales:

Cuando el divisor es un binomio $x-a$, las fórmulas son muy simples. Usted está invitado a recuperar por una división completa.

El Polinomio Teorema del Resto le da otra pista importante: para los que recibieron $f$$g$, el cociente y el resto polinomios $q$ $r$ ( $\deg(r)<\deg(g)$ ) está unívocamente determinado, no hay otra posibilidad.

Answer 2

Vamos a olvidar la palabra "división" por un momento.

El reclamo es que si $f$ $g$ son polinomios en una variable (es decir, en uno indeterminado) con coeficientes en un campo (por ejemplo, con coeficientes racionales), y si $g$ no es el polinomio cero, entonces existe únicos polinomios $q$$r$,$\deg r < \deg g$, de tal manera que $$ f = qg + r. $$ La anterior ecuación expresa la igualdad de polinomios como resumen algebraica de las entidades. Si estás trabajando con coeficientes en un campo de característica cero (por ejemplo, racional, real o complejo coeficientes), es seguro para reformular la anterior en términos de valores de funciones polinómicas: $$ f(x) = q(x) g(x) + r(x) \quad\text{para todos los $x$.} \etiqueta{1} $$ La discusión siguiente se utiliza la función "valor" del lenguaje.

La unicidad es fácil: si $$ q_{1}(x) g(x) + r_{1}(x) = f(x) = q_{2}(x) g(x) + r_{2}(x) \quad\text{para todos los $x$,} $$ a continuación,$\bigl(q_{1}(x) - q_{2}(x)\bigr) g(x) = r_{2}(x) - r_{1}(x)$. Desde el lado izquierdo es un polinomio de varios de $g$ (por lo tanto es $0$ todos los $x$, o es un polinomio de grado al menos $\deg g$) y el lado derecho es un polinomio de grado estrictamente menor que $\deg g$, cada lado debe ser $0$. Es decir, $q_{1}(x) = q_{2}(x)$ todos los $x$, e $r_{1}(x) = r_{2}(x)$ todos los $x$.

Una prueba de la existencia procede por sucesivas de la resta de (polinomio múltiplos de) $g$$f$: La anterior conclusión puede ser escrito $$ f(x) - q(x) g(x) = r(x) \quad\text{para todos los $x$,} $$ en cuyo caso es claro que el objetivo es "restar un polinomio múltiples de $g$$f$, la obtención de un polinomio de grado estrictamente menor que $\deg g$".

Para ilustrar la idea principal, considere el ejemplo $$ f(x) = x^{3} - 12x^{2} - 42,\quad g(x) = x - 3. $$ El "juego" se restas sucesivas monomio múltiplos de $g$ $f$ con el objetivo de reducir el grado de la diferencia en cada paso.

Para ello, se centran en el más alto grado de término de cada uno de ellos: $f(x) = x^{3} + \cdots$$g(x) = x + \cdots$. Desde $x^{3} = x^{2} \cdot x$, estamos llevó a considerar \begin{align*} f(x) - x^{2}g(x) &= x^{3} - 12x^{2} - 42 - x^{2}(x - 3) \\ &= -9x^{2} - 42. \end{align*} Desde $\deg (-9x^{2} - 42) = 2 < 3 = \deg f$, hemos conseguido escribir $f$ como un polinomio de varios de $g$ más un resto de grado menor que $\deg f$ [sic., no $\deg g$]. Tenga en cuenta que el anterior tiene para todos los $x$.

Continuar en esta línea. Por similar consideración de los más altos grados de términos, $-9x^{2} = -9x\cdot x$, estamos llevó a escribir \begin{align*} \bigl[f(x) - x^{2}g(x)\bigr] - (-9x)\, g(x) &= \bigl[-9x^{2} - 42\bigr] + 9x(x - 3) \\ &= -27x - 42. \end{align*} La combinación de los dos pasos anteriores, hemos $$ f(x) - (x^{2} - 9x)\, g(x) = -27x - 42\quad\text{para todos los $x$.} $$

El resto aún tiene grado mayor o igual que el grado de $g$, por lo que podemos realizar otro paso, la obtención de $$ f(x) - (x^{2} - 9x - 27)\, g(x) = -123\quad\text{para todos los $x$.} $$

Aquí termina el proceso: Desde $\deg(-123) = 0 < \deg g$, no podemos reducir el grado del resto más restando monomio múltiplos de $g$. Hemos establecido una descomposición de la forma (1) en este ejemplo: $$ f(x) - \underbrace{(x^{2} - 9x - 27)}_{p(x)}\, g(x) = \underbrace{-123}_{r(x)}\quad\text{para todos los $x$.} $$

La estrecha analogía con el algoritmo de Euclides debe ser clara. El habitual "polinómica de la división de" notación expresa este proceso de forma más concisa.

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La escritura de un general de la prueba es sencilla. La clave de la técnica paso es el siguiente observación: Si $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots$ es un polinomio de grado $n$ (es decir, si $a_{n} \neq 0$), si $g(x) = b_{m} x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots$ tiene el grado $m$ (es decir, si $b_{m} \neq 0$), y si $\deg g = m \leq n = \deg f$ (es decir, si no tiene un "resto" de grado menor que $\deg g$), luego $$ f(x) - \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m}\, g(x) = \underbrace{\left(a_{n} - \frac{a_{n}}{b_{m}}\, b_{m}\right)}_ {y= 0} x^{n} + \left(a_{n-1} - \frac{a_{n}}{b_{m}}\, b_{m-1}\right) x^{n-1} + \cdots $$ tiene un grado en la mayoría de las $n - 1$. (El segundo coeficiente entre paréntesis puede ser cero, por lo que el grado de esta "parcial resto" podría ser estrictamente menor que $n - 1$.)

Ahora hacemos inducción sobre la siguiente declaración $P_{n}$:

Si $f$ es un polinomio de grado una mayoría de $n$ en una variable, y si $g$ es un polinomio en una variable, existen polinomios $q$ $r$ tal que $f(x) = q(x) g(x) + r(x)$$\deg r < \deg g$.

Como caso base, la inducción se inicia con la constante de polinomios, por lo que la conclusión es obvia.

La "clave de la técnica de paso" de arriba muestra que si $\deg f = k + 1$, $f$ puede ser escrito como un monomio múltiples de $g$, además de un polinomio de grado en la mayoría de las $k$, para que la hipótesis inductiva puede ser aplicado.

Answer 3

Creo que este comentario tuyo es el corazón de su problema.

Puedo resolver cualquier cuestión en la división larga, números o polinomios. Pero no entiendo la lógica detrás de la división larga. Yo saber cómo funciona el algoritmo, pero no sé por qué funciona.

Una vez que usted entiende esto, usted deberá ser capaz de responder al resto de sus preguntas.

Yo podría escribir mi explicación de por qué el largo algoritmo de la división de obras - pero puede que no se adapte a su estilo de aprendizaje. Hay muchas explicaciones en la web. He buscado

¿por qué el largo algoritmo de la división del trabajo

y encontró a varios sitios web útiles. Esto puede ayudarle a: http://www.mathpath.org/Algor/algor.long.div.htm

Uno con algo más de rigor y la explicación es http://www.math.hawaii.edu/~lee/cursos/División.pdf.

La comprensión de la larga algoritmo de la división trata de la comprensión de la base 10 de la notación - el hecho de que $234$ es la abreviatura de $$2\times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0$$.

Entonces se puede pensar en el polinomio $2x^2 + 3x + 4$ como una cosa escrita en base a $x$. No voy a llamar a esa cosa un número, ya no lo es, ya que $x$ es sólo un símbolo para el seguimiento de cuando usted hace polinomio aritmético. Una vez que entiendes la base de 10 los algoritmos usted puede transferir el entendimiento a la base de $x$ aritmética de polinomios. De hecho, el polinomio aritmético es más fácil, ya que no hay transporte o de endeudamiento de una columna a otra.