Si $A$ $m\times n$ matriz y $B$ $n\times m$ matriz tal que $AB=I$, demostrar que el rango de$(B)=m$

Question

Si $A$ $m\times n$ matriz y $B$ $n\times m$ matriz tal que $AB=I$, demostrar que el rango de$(B)=m$.

No estoy seguro de por dónde empezar con esta prueba. Tengo que el rango de$(AB) = m$, pero no puedo encontrar algo que me ayude a conseguir más. Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Sabemos que el rango de($B$) $\leq m$.

También, $m=$ rango($AB$) $\leq$ rango($B$) $\leq m$. (Ver aquí)

Así, el rango($B$) $= m$

Answer 2

Otra forma de usar el robjohn sugerencia en los comentarios de arriba:

Por rango teorema, tenemos: $\text{rank}(B)+\dim (\ker B)=m$

$X \in \ker(B) \Rightarrow BX=0 $ $BX=0 \Rightarrow (AB) X=0$ . Desde $AB=I$ tenemos $\ker B=\{0\}$ $\text{rank}(B)=m$