Hay varias cosas a contestar aquí. Para ser claros, definimos $L(s, \chi)$ $\sum_n \frac{\chi(n)}{n^s}$ $\mathrm{Re}(s)>1$ y extender $L(s, \chi)$ por la continuación analítica para el resto de $\mathbb{C}$. Cualquier producto o suma en la variable $p$ es el primer de los valores de $p$.
Es cierto, y no es difícil, que $\sum_n \frac{\chi(n)}{n} = L(1,\chi)$.
Es cierto, y no es difícil, que $\prod_{p} (1-\chi(p)/p^s)^{-1} = L(s, \chi)$$\mathrm{Re}(s)>1$.
Es cierto, pero más difícil de lo que muestra $L(1, \chi) \neq 0$, que
$\prod_{p} (1-\chi(p)/p)^{-1} = L(1, \chi)$.
No es obvio que $\prod_{p} (1-\chi(p)/p)^{-1}$ no $0$. El asunto es que, visto como un producto de Euler, no es obvio que no conseguimos $\infty$.
Por lo tanto, debido a los problemas 3 y 4, esto no es una manera razonable para demostrar que $L(1, \chi) \neq 0$.
Prueba de 1: Vamos a $\chi$ ser periódica con período de $N$. Escribe la suma definición de $L(s, \chi)$$\sum_{c=0}^{\infty} \sum_{d=1}^N \frac{\chi(cN+d)}{(cN+d)^s}$. El interior de la suma es
$$\sum_{d=1}^N \frac{\chi(cN+d)}{(cN+d)^s} = \sum_{d=1}^N \chi(d) \left(\frac{1}{(cN)^s} + O \left( \frac{1}{c^{\mathrm{Re}(s)+1}} \right) \right) = O\left( \frac{1}{c^{\mathrm{Re}(s)+1}} \right) .$$
La segunda igualdad se utiliza el hecho de que $\sum_{d=1}^N \chi(d)=0$. Por lo que la suma converge uniformemente en $\mathrm{Re}(s) \geq a$ cualquier $a>0$. Por lo tanto, la suma se define a $L(s, \chi)$$\mathrm{Re}(s)>0$, no sólo a $\mathrm{Re}(s)>1$.
Prueba de 2: La suma y el producto converge absolutamente para $\mathrm{Re}(s)>1$, por lo que pueden ser reorganizadas.
Discusión de las 3: Como se discute en este MO respuesta, la igualdad de $\prod_{p} (1-\chi(p)/p^a)^{-1} = L(a, \chi)$ real $a$ es básicamente equivalente a la muestra $L(s, \chi) \neq 0$$\mathrm{Re}(s) \geq a$. Se sabe que $L(s,\chi)$ es distinto de cero en $\mathrm{Re}(s)=1$, por lo que la declaración de 3 es cierto, pero esto es obviamente más difícil de lo que muestra $L(1, \chi) \neq 0$.
Debate de 4: no veo cómo se va a mostrar $\prod_{p} (1-\chi(p)/p)^{-1}$ no $0$ o $\infty$ observando el producto. Por simplicidad, vamos a hablar de una ecuación cuadrática carácter. Siempre que $\chi(p)=1$, obtenemos $(1-\chi(p)/p)^{-1} > \exp(1/p)$. Si $\chi(p)$ es abrumadoramente $1$$N$$N^2$, $$\prod_{N<p<N^2} (1-\chi(p)/p)^{-1} > \prod_{N<p<N^2} \exp(1/p) = \exp \left( \sum_{N<p<N^2} 1/p \right) \approx \exp(\log\log N^2 - \log \log N) = 2.$$
Del mismo modo, si $\chi(p)$ es abrumadoramente $-1$$[N, N^2]$,$\prod_{N<p<N^2} (1-\chi(p)/p)^{-1} < 1/2$. Así, con el fin de mostrar el producto, se establece a un valor distinto de cero número finito, usted necesita demostrar que $\chi(p)$ no abrumadoramente tiene un signo de los números primos en los intervalos. Lo que es cierto! Pero por lo general resulta $L(1, \chi) \neq 0$ como un preludio para demostrar que $\chi(p)$ toma cada signo infinitamente a menudo, así que, si ni siquiera sé aún, ¿cómo puedes esperar para hacer esto?
