Yo quería preguntar una cuestión separada para centrarse en una elemental cuestión de mi pregunta ¿el inverso de un polinomio de la matriz tiene el polinomio de crecimiento?.
Deje $p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser un polinomio en $n$ variables reales, con coeficientes reales, y supongamos que $p > 0$ sobre todo $\mathbb{R}^n$.
Qué $1/p$ tienen (en la mayoría) el polinomio de crecimiento? Es decir, hay constantes $C,N$ tal que $1/p(\mathbf{x}) \le C (1+|\mathbf{x}|)^N$ todos los $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$?
Por supuesto, esto es cierto cuando se $n=1$, porque en ese caso tenemos $\lim_{x \to \pm \infty} p(x) = +\infty$, y por lo $1/p$ es realmente limitada. En las dimensiones superiores es más sutil: por ejemplo, $p(x,y) = x^2 + (1-xy)^2$ que es estrictamente positivo para todos los $x,y$, sin embargo, $1/p$ es ilimitado: considere el$p(1/y,y)$$y \to \infty$. Para este ejemplo, puedo usar algunos cálculos para demostrar que $1/p(\mathbf{x}) \le 1+\|\mathbf{x}\|^2 \le (1+\|\mathbf{x}\|)^2$, lo $1/p$ tiene el polinomio de crecimiento. Pero no sé qué hacer en general.
