Fuerza de Lorentz en rotación

Question

Este es el problema común de una partícula cargada que se mueve en un campo eléctrico y magnético estático. Digamos $\textbf{E}=(E_x,0,0)$ y $\textbf{B}=(0,0,B_z)$ .

En el marco de referencia inercial la ecuación del movimiento es (1): \begin{equation} \frac{d \textbf{v} }{dt} = -\frac{q \textbf{B} }{m}\times \textbf{v} + \frac{q}{m}\textbf{E} \end{equation}

Podemos encontrar ecuaciones para $v_x$ un $v_y$ y ver que el movimiento resultante es una órbita circular con un constante velocidad de deriva $v_d=\frac{E_x}{B_z}$ .

Seguramente debería obtener la misma respuesta si resuelvo el problema en un marco de referencia giratorio ?

Sé que (2): $$ \frac{d \textbf{v} }{dt} \vert_{Inertial} = \frac{d \textbf{v} }{dt} \vert_{Rotational} + \boldsymbol{\omega}\times\textbf{v};$$

Si utilizo la Ec. (1) como el LHS de la Ec. (2), y elijo $ \boldsymbol{\omega}=-\frac{q \textbf{B} }{m}$ entonces obtengo (3):

$$ \frac{d \textbf{v} }{dt} \vert_{Rotational} = \frac{q}{m}\textbf{E};$$

donde $\mathbf{E}=(E_x\cos(\omega t), E_x\sin(\omega t),0)$ es el campo eléctrico en el marco de rotación.

Resolviendo esto: $ \textbf{v} \vert_{Rot} = \frac{E_x}{B_z} (\sin(\omega t)\textbf{i} - \cos(\omega t)\textbf{j})$

Pero creo que no entiendo la relación entre $\mathbf{i}$ y $\mathbf{j}$ en la rotación y en el marco inercial...

¿Cómo obtengo la velocidad de deriva $v_d = \frac{E_x}{B_z}$ ?

Answer 1

Sí, tienes razón, las respuestas deberían ser las mismas en ambos marcos y, de hecho, las respuestas que das lo son. Sólo tienes que convertir de nuevo al marco inercial

Recuerde que i y j en el marco de rotación están fijas en el marco de rotación y, por tanto, giran en el marco de inercia. En i' y j' como eje del sistema de referencia y i y j para el marco inercial. Las relaciones entre ambos son (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_frame ) $$ \textbf{i'} = \textbf{i} \cos(\omega t) - \textbf{j} \sin(\omega t) $$ $$ \textbf{j'} = \textbf{j} \cos(\omega t) + \textbf{i}\sin(\omega t) $$

sustituyendo esto en su respuesta da

$$ \textbf{v} = \frac{E_x}{B_z}[\textbf{i} (\sin(\omega t)\cos(\omega t) - \sin(\omega t)\cos(\omega t)) - \textbf{j} (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t))] $$

el i se anula y utilizando $\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)=1$ obtenemos su respuesta original

$$v=-\frac{E_x}{B_z} \textbf{j}$$

Vale, no es estrictamente la respuesta original, pero supongo que originalmente sólo calculaste la velocidad, no la dirección. En ese sentido, es fácil demostrar que la velocidad es la misma sin cambiar marcos simplemente tomar la magnitud de la velocidad de rotación.

$$v_{rot} = \frac{E_x}{B_z} \sqrt{\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)}$$

De nuevo el bit de la raíz es 1.