Loop es contráctiles iff se extiende a un mapa de disco

Question

Deje $X$ ser un espacio, $f : S^1 \to X$ ser función continua. $f$ es homotópica a una constante mapa de $h = c$ fib $\exists$ continua $g: D^2 \to X $ tal que $g |_{S^1} = f $

Mi Intento

Tomar un homotopy $F: S^1 \times I \to X $ de las constantes mapa de $c$ tot $f$. Deje $g : D^2 \to X$ recibir tal que $g(xs) = F(x,s)$. $g$ es, obviamente, cotinuous por definición y, por tanto,$g(x) = F(x,1) = f(x) $. Desde esta mapas es válido para cada $x \in S^1$, luego tenemos a $f(x) = g|_{S^1}$. Ahora comprobamos que el $D^2 \cong S^1 \times I $ (estoy un poco atascado en esta parte, la ayuda sería apreciada)

Por el contrario, Tome $g : D^2 \to X $ tal que $f(x) = g|_{S^1} $. Deje $h : S^1 \to \{x_0 \} \subseteq X$ ser constante mapa de $h = c$. A continuación, $F(x,s) = sc + (1-s)f $ proporciona una homotopy entre el $f$ $h = c$

Realmente agradecería una respuesta, muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Su intuición es correcta, pero la prueba debe ser más riguroso.

Para la primera parte, usted tiene que construir $g:D^2\rightarrow X$ a mano. No entiendo por qué dices que $g$ es dado. Lo que está dado, aunque, como dices, es el homotopy $F:S^1\times I \rightarrow X$ a partir de la constante camino de $c$$f$. Definir $g:D^2\rightarrow X$ mediante la siguiente fórmula :

• $g(x)$ es el de puntos basado en el si $\Vert x\Vert \leq 1/2$,

• $g(x)=F(\frac{x}{\Vert x\Vert}, 2-2\Vert x\Vert)$ si $\Vert x \Vert \geq 1/2$.

Para la segunda parte, probablemente olvidó poner $g$ en la definición de la $F$. Usted probablemente significaba $F(x,s)=g(ss_0+ (1-s)x)$ donde $s_0$ es el punto de referencia $S^1$.