Para un no-matemático (físico) todas las integrales y definiciones son iguales así que cuales son las diferencias entre:
La integral de Lebesgue
La integral de Riemann
La integral de Riemann-Stiejles
¿Por qué no son todos iguales?
En primer lugar, las definiciones no son mismo ni de lejos es lo mismo. El Integral de Riemann-Stieltjes es un generalizado versión del Integral de Riemann que constituye un fundamento básico y es útil para muchas situaciones prácticas. Pero todavía hay funciones que no son integrable según la definición de Riemann o incluso en la configuración modificada establecida por Stieltjes. El Integral de Lebesgue sustituye a las integrales anteriores en el sentido de que trata muchas funciones que no son integrables de Riemann/Riemann-Stieltjes, pero las dos integrales coinciden cuando ambas existen.
Con algunas pequeñas advertencias: La integrabilidad de Riemann implica la integrabilidad de Lebesgue, pero hay algunos integrales impropias de Riemann que no son integrables de Lebesgue.
Esta respuesta podría sugerir que el objetivo de la integral de Lebesgue es sólo ampliar la cantidad de funciones integrables. No es es.wikipedia.org/wiki/
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Para un físico, todas las funciones son continuas (o continuas por la izquierda, o continuas por la derecha) en todos los puntos de singularidad, excepto en un número finito. Pues bien, si se consideran sólo esas funciones, las integrales son todas iguales. Las diferencias de este tipo de integrales se dan cuando consideras funciones "malas".
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Este es una buena exposición de algunas de las diferencias entre las integrales de Lebesgue y de Riemann. También vale la pena señalar que existen otras teorías de la integración: Henstock-Kurzweil , Choquet etc. Es cierto que las definiciones alternativas tienden a ser sólo generalizaciones, pero también lo son Riemann-Stieltjes y Lebesgue, en cierto sentido.
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