Cilindros y diádica Intervalos

Question

Vamos a ser $\Sigma_{+}=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ el espacio de secuencias de $0^{'s}$$1^{'s}$. Considere el siguiente surjective aplicación $\phi:\Sigma_{+}\to [0,1]$ dada por $$ \phi(\underline{x})=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x_i}{2^{i}} $$ donde $\underline{x}=(x_i)$.

Mi Problema: quiero ver que existe una correspondencia entre los cilindros de $ \Sigma_{+}$ y el diádica intervalos de [0,1].

Obs 1: Para mí esto tiene más o menos claro que la imagen de $ \phi $ de un cilindro es un intervalo diádico.

Obs 2: Para mí, un intervalo diádico es un intervalo de la forma $[\dfrac{k}{2^n},\dfrac{k+1}{2^n}]$ donde $k=1,\ldots 2^n$

Answer 1

Yo he visto al menos dos definiciones de cilindro conjunto.

1. Para cada finito, no-vacío $F\subseteq Z^+$ y la función $\sigma:F\to\{0,1\}$ vamos $$B(\sigma)=\left\{x\in\Sigma_+:x\upharpoonright F=\sigma\right\}\;;$$ the cylinders are the sets $B(\sigma)$.

2. Los cilindros son los conjuntos de $B(\sigma)$ definido en (1) para que $\operatorname{dom}\,\sigma$ es un segmento inicial de $\Bbb Z^+$.

Suponiendo que su definición es el segundo, el resultado es sencillo.

Fix$n\in\Bbb Z^+$$m\in\{0,\dots,n-1\}$, y deje $D=\left[\dfrac{m}{2^n},\dfrac{m+1}{2^n}\right]$. Vamos

$$m=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b_{n-k}}{2^k}\;,$$ where each $b_k\en\{0,1\}$, so that $b_1\dots b_n$ is the $n$-bit binary representation of $m$, y vamos a

$$\sigma:\{1,\dots,n\}\to\{0,1\}:k\mapsto b_k\;.$$

Yo reclamo que $D=\varphi\big[B(\sigma)\big]$, es decir, que $\varphi(x)\in D$ si y sólo si $x_k=b_k$$k=1,\dots,n$.

Si $x\in B(\sigma)$, luego

$$\varphi(x)=\sum_{k\ge 1}\frac{x_k}{2^k}=\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{2^k}+\sum_{k>n}\frac{x_k}{2^k}=\frac{m}{2^n}+\sum_{k>n}\frac{x_k}{2^k}\;,$$

y

$$0\le\sum_{k>n}\frac{x_k}{2^k}\le\frac1{2^n}\;,$$

por lo $\varphi(x)\in D$, e $\varphi\big[B(\sigma)\big]\subseteq D$. Por otro lado, sabemos que

$$\left\{\sum_{k>n}\frac{x_k}{2^k}:x_k\in\{0,1\}\text{ for }k>n\right\}=\left\{\frac1{2^n}\varphi(x):x\in\Sigma_+\right\}=\left[0,\frac1{2^n}\right]\;,$$

así en el hecho de $\varphi\big[B(\sigma)\big]=D$.