Pregunta acerca de las raíces

Question

Deje $a,b,c$ ser raíces de la ecuación ($x^3-6x^2+kx+k=0$, e $(a-1)^3+(b-2)^3+(c-3)^3=0$.

cómo calcular $a,b,c,k=?$

si nosotros no trabajamos de forma equivalente, como para encontrar la solución: $$\begin{align*}(1)&abc=&-k\\(2)&ab+ac+bc=&k\\(3)&a+b+c=&6\\(4)&(a-1)^3+(b-2)^3+(c-3)^3=&0\end{align*}$$

Hay buena habilidad?

Answer 1

Sugerencias:

$$\;\;\begin{align*}(1)&abc=&-k\\(2)&ab+ac+bc=&k\\(3)&a+b+c=&6\end{align*}$$

Usted puede leer acerca de Viéte de fórmulas , también.

Answer 2

Tenemos $a+b+c=6, ab+ac+bc=k, abc=-k, (a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=0$.

Por lo tanto $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+(ab+ac+bc)+(a+b+c)+1=k+(-k)+6+1=7$.

Sustituto $x=a-1, y=b-2, z=c-3$, lo $x+y+z=x^3+y^3+z^3=0, \, (x+2)(y+3)(z+4)=7$.

Tenga en cuenta que por el contrario cualquier $x, y, z$ la satisfacción de estas ecuaciones serán a su vez, dar únicas $a, b, c$ satisfacción $a+b+c=6, (a-1)^3+(b-2)^3+(c-3)^3=0, (a+1)(b+1)(c+1)=7$, por lo que el $abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c+1)=7-6-1=0$. Ahora, a partir de los valores de $a, b, c$, entonces podemos únicamente determinan $k$.

Ahora $x^3+y^3=-z^3=(-z)^3=(x+y)^3$, lo $0=3xy(x+y)=-3xyz$.

Así al menos 1 de $x, y, z$ es 0.

Si $x=0$,$z=-y$, lo $2(y+3)(4-y)=7$, lo $2y^2-2y-17=0$, dando $y=\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}$.

Tenemos $(x, y, z)=(0, \frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}, -\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2})$.

Si $y=0$,$z=-x$, lo $(x+2)(3)(4-x)=7$, lo $3x^2-6x-17=0$, dando $x=\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}$.

Tenemos $(x, y, z)=(\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}, 0, -\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3})$.

Si $z=0$,$y=-x$, lo $(x+2)(3-x)(4)=7$, lo $4x^2-4x-17=0$, dando $x=\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}$.

Tenemos $(x, y, z)=(\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, -\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, 0)$.

Por lo tanto $(a, b, c)=(1, 2+\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}, 3-\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}), (1+\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}, 2, 3-\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}), (1+\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, 2-\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, 3)$.

Edit: Calcular los valores de $k$ $k=-abc$ da $(a, b, c, k)=(1, 2+\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}, 3-\frac{1 \pm \sqrt{35}}{2}, \frac{5}{2}), (1+\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}, 2, 3-\frac{3 \pm \sqrt{60}}{3}, \frac{16}{3}), (1+\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, 2-\frac{1 \pm \sqrt{18}}{2}, 3, \frac{27}{4})$.