Soluciones de $\frac{1}{\cos \theta} = a \sin \theta - b$

Question

Uno de mis profesores de matemáticas y yo estamos trabajando en un problema de física que implica hacer girar una cadena, y decidimos ir lo más simple posible y trabajar la solución explícitamente para ese caso (una barra larga que cuelga de una bisagra que gira en un círculo horizontal). A partir de ahí, podíamos trabajar en la solución. Al final, lo redujimos al punto de tener una ecuación de esta forma:

$$\frac{1}{\cos \theta} = a \sin \theta - b$$

En función de los valores de $a$ y $b$ Hay $0$ , $1$ , $2$ , $3$ o $4$ soluciones para $\theta$ en esta ecuación. Lo que tengo es curiosidad por saber si hay fórmulas en términos de $a$ y $b$ que dará estas soluciones. Como nota al margen, esta situación me recuerda a los cuadráticos: tienen $0$ , $1$ o $2$ las soluciones vienen dadas por la fórmula cuadrática, y el valor de $b^2-4ac$ indica cuántas soluciones de valor real hay. Estoy buscando algo similar para la ecuación que he dado arriba, y WolframAlpha no está siendo de ayuda (¡juego!).

Answer 1

Puedes ver por qué tienes hasta 4 soluciones porque puedes reordenar la ecuación para producir un cuártico en $\cos{\theta}$ :

$$a^2 \cos^4{\theta} + (b^2-a^2) \cos^2{\theta} + 2 b \cos{\theta} + 1 = 0$$

¿Existe una fórmula para las raíces de este polinomio en términos de $a$ y $b$ ? Claro, pero me imagino que es desagradable.

EDITAR

He jugado con las raíces exactas en Mathematica, lo cual puedo decir que no es el ejercicio más esclarecedor que he realizado en este espacio. Dicho esto, había un término de raíz cuadrada que aparecía en todo momento, cuyo radicando imagino que actúa como discriminante. Es decir, el discriminante debe ser mayor que cero para que haya raíces reales. Por si tienes curiosidad, la expresión para este discriminante es

$$-a^4 \left(a^6-a^4 \left(3 b^2+8\right)+a^2 \left(3 b^4-20 b^2+16\right)-b^6+b^4\right)$$

Answer 2

Si ponemos $t=\tan \frac\theta2,\sin\theta =\frac{2t}{1+t^2},\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Entonces, $$\frac1{\cos\theta}=a\sin\theta-b--->(1)$$ se convierte en $$(b-1)t^4-2at^3-2t^2+2at-(b+1)=0--->(2)$$ que es una ecuación cuártica en $t$ por lo que definitivamente tendrá exactamente cuatro raíces finitas si $b-1\ne0$ .

$(1)$ Si $b=1,$ la ecuación se reduce a $2at^3+2t^2-2at+2=0--->(3)$

Podemos hacer uso de este para identificar el número de raíces reales de $(3)$

Claramente, cada raíz real de $(3)$ corresponderá a un real de raíz de de $(1)$ la razón es:

Lo sabemos, $\tan A=\tan B\implies A=n\pi+B,$ así que $\tan(\pi+\frac\theta2)=\tan\frac\theta2$ es decir, o $\tan\left(\frac{2\pi+\theta}2\right)=\tan\frac\theta2$

Así, los períodos de $\cos\theta,\sin\theta(=2\pi)$ y $\tan \frac\theta2$ son iguales.

Por lo tanto, en cada $\in[2n\pi,2(n+1)\pi)$ habrá una correspondencia uno a uno entre $\cos\theta,\tan \frac\theta2$ y $\sin\theta,\tan \frac\theta2$

$(2)$ Si $b\ne1,$ podemos escribir $$t^4-\frac{2a}{b-1}t^3-\frac2{b-1}t^2+\frac{2a}{b-1}t+\frac{b+1}{b-1}=0--->(4)$$

Ahora, eliminamos el $t^3$ término poniendo $y=x-\lambda\implies x=y+\lambda$

$$(y+\lambda)^4-\frac{2a}{b-1}(y+\lambda)^3-\frac2{b-1}(y+\lambda)^2+\frac{2a}{b-1}(y+\lambda)+\frac{b+1}{b-1}=0--->(5)$$

El coeficiente de $y^3$ es $4\lambda-\frac{2a}{b-1}$

Si lo configuramos como $0,\lambda=\frac a{2(b-1)}\implies y=x+\frac a{2(b-1)}$

Ahora, podemos utilizar este para identificar el número de raíces reales de $(5),$ por lo tanto, de $(4)$

Claramente, cada raíz real de $(4)$ es decir, de $(2)$ corresponderá a un real de raíz $(1)$